§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
§15. Ряды Лорана. P(z)- правильная часть Q(z)- главная часть ряд Лорана.
Advertisements

Функциональные и степенные ряды Функциональные ряды Степенные ряды Сходимость степенных рядов Свойства степенных рядов 1/18.
§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Определение. Точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z)
Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (степенные ряды, ряды Лорана) Лектор Пахомова.
{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости - пример – радиус интервала сходимости – примеры }
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенной.
§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд.
Степенные ряды Лекции12, 13, 14. Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается. Если при ряд сходится,
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)
О. Степенным рядом называется функциональный ряд вида (1) где a 0, a 1, a 2, …,a n,…, а также x 0 – постоянные числа. Точку x 0 называют центром степенного.
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида.
Def. Точка z 0 g называется точкой сгущения (предельной точкой) g, если в Def. (по Гейне) Комплексное число w 0 называется пределом f(z) z g, в точке z.
ТЕОРИЯ РЯДОВ. 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.1. Функциональные ряды. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.
Функциональные ряды. Функциональные ряды.. Опр-е: Выражение f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)+… (1) называется рядом относительно переменной x. Придавая переменой.
Определение 1. Выражение называется числовым рядом. Числа называются первым, вторым,...,... членами ряда. называется общим членом ряда. Определение 2.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье по ортогональной.
Def. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел. Члены последовательности располагаются в порядке.
§7. Интеграл Коши. g- односвязная. - Не зависит от выбора !
Числовые ряды Основные понятия Основные теоремы о сходящихся рядах Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными.
Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности.
Транксрипт:

§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.

сходится в единственной точке сходится на всей комплексной плоскости

Теорема Абеля. Если сходится в точке z 1 z 0, то он сходится причем в круге сходится равномерно.

Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда сходится

Следствия теоремы Абеля. 1) Если расходится в точке z 2 z 0, то он расходится

Доказательство. сходится. сходится (т. Абеля). сходится

2) Круг сходимости. Радиус сходимости. расходится.

Круг сходимости степенного ряда наибольшая область сходимости степенного ряда Число R>0- радиус сходимости степенного ряда. ряд сходится, ряд расходится, возможно все.

3) Формула Коши-Адамара. Доказательство. Пусть

Надо доказать сходится. расходится.

Докажем а). Пусть Положим Т.к. сходится.

Докажем а). Пусть Положим Т.к. расходится

т. Вейерштрасса =>

5) По т. Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости При этом радиус сходимости не меняется !!! можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз.

сходится. 7) Пример.

Теорема Тейлора.

Доказательство. Возьмем

Замечания. разложение функции в ряд Тейлора. C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z 0.

сходимость равномерная

§12. Единственность определения аналитической функции. п.1. Понятие правильной точки. Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек. Точка z 0 g называется правильной (регулярной) точкой f(z) в g, если

Если точка z g не является правильной, то она называется особой точкой функции f(z) в g. Замечание. Если правильная точка. граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. Если f(z) задана в

п.2. Нули аналитической функции. - нуль аналитической функции.

- нуль n-того порядка.

Теорема о нулях аналитической функции.

Доказательство. По непрерывности Пусть

Следствия. 1) Все нули изолированные. 2) Если то в может быть лишь конечное число нулей f(z).

Доказательство. пусть в выделить подпоследовательность то из них можно

На расширенной комплексной плоскости целая функция может иметь лишь счетное число нулей, причем предельной точкой этого множества является бесконечно удаленная точка. Если может быть лишь конечное число нулей f(z).

п.3. Теорема единственности определенной аналитической функции. Если

Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f 1 (z)-f 2 (z) 0 в g.

Следствие теоремы единственности Множества задания аналитической функции В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на

однозначно определяется заданием своих значений на a), б), в).

Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z n ) или f(C) или f( g') !!!