Тригонометрическая форма записи комплексного числа. -новая форма представления комплексного числа; -свойства модуля комплексного числа; Учитель математики МОУ СОШ 2 Чернышова Ирина Сергеевна

Определение 1: Модулем комплексного числа z=a+bi называют число. Обозначение z x y 0 a b

x y x y 0 0 z1z1 z2z2 2 -3

Свойства модуля комплексного числа:

Связь между числовой окружностью на координатной плоскости и модулем комплексного числа Связь между числовой окружностью на координатной плоскости и модулем комплексного числа. Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только тогда, когда соответствующая ему точка на координатной плоскости лежит на числовой окружности. Точки числовой окружности М(х;у) можно записать в виде комплексного числа (учитывая, что х=cosα, у=sinα), то z=cosα+isinα.

Важно знать! 1.Если комплексное число z лежит на числовой окружности, то z=cosα+isinα для некоторого действительного числа α и наоборот, если z=cosα+isinα, то z лежит на числовой окружности. х у 0 z cosα sinα 1

Важно знать! 2. Если комплексное число z лежит на единичной окружности, то. Обратно, если, то z лежит на единичной окружности. х у 0 z

Определение 2. Тригонометрической формой комплексного числа z (не равного нулю), называют его запись виде z=ρ(cosα+isinα), где ρ-положительное действительное число. Всякое отличное от нуля комплексное число z может быть записано в виде z=l Z l(cosα+isinα), где α-некоторое действительное число. Если z=ρ(cosα+isinα) – другая тригонометрическая запись числа z, то ρ=l Z l и β­α=2πk, kЄΖ

Определение 3 Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют действительное число α, такое, что 1) αЄ(­π;π] 2) z=l Z l(cosα+isinα). Обозначение: arg z α=arg z Геометрический смысл аргумента комплексного числа: это угол в пределах (­π;π], образованный вектором z с положительным направлением оси абсцисс. z lΖllΖlarg z

Важно знать! Соединение вместе модуля и аргумента комплексного числа приводит к стандартной тригонометрической форме записи комплексного числа. Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их модули и равны их аргументы!

Умножение и деление комплексных чисел: Если z 1 =ρ 1 (cosα+isinα), и z 2 =ρ 2 (cosα+isinα), то: 1) z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos(αβ)+ i sin(α+β)) 2) а) при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются; б) при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.

Правила деления и умножения комплексных чисел абсолютно верна для комплексных чисел с положительными действительными частями, т.е. у них α=arg(z 1 )Є β=arg(z 2 )Є Замечание: если сумма (α+β) или разность (α-β) аргументов окажется вне пределов промежутка (-π; π], в таких случаях для нахождения аргумента результата следует или прибавить, или вычесть 2π.