После изучения темы «Комплексные числа учащиеся должны: Знать: алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

Какие числовые множества Вам знакомы? N Z Q R

Числовая системаДопустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Сложение, вычитание, умножение, деление Извлечение корней из неотрицательных чисел Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: С 1 ) Существует квадратный корень из -1, т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен -1. С 2 ) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. С 3 ) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Комплексные числа i² = -1, i – мнимая единица i, 2i, -0,3i чисто мнимые числа Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3. где a и b действительные числа. В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

0·i =0 Число 0 – единственное число, являющееся одновременно и действительным, и чисто мнимым

Комплексные числа Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Классификация комплексных чисел Комплексные числа a + bi Действительные числа b = o Мнимые числа b o Рациональные числа Иррациональные числа Мнимые числа с ненулевой действительной частью a 0, b 0. Чисто мнимые числа a = 0, b 0.

Арифметические операции над комплексными числами (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Сопряженные комплексные числа Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается : :. Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам. Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

Свойства сопряженных чисел 1.Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число действительное. 2.Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. 3.Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам. 4.Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам.

Свойства сопряженных чисел 5.Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z, равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е. 6.Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно частному сопряженных чисел, т.е.

Степени мнимой единицы По определению первой степенью числа i является само число i, а второй степенью – число -1:. Более высокие степени числа i находятся следующим образом: i 4 = i 2 i ² = 1; i 5 = i 4 i = i; i 6 = i 5 i = i 2 = - 1 и т.д. i 1 = i, i 2 = -1, i³ = i² ·i = -1·i = -i Очевидно, что при любом натуральном n i 4n = 1; i 4n+1 = i; i 4n +2 = - 1i 4n+3 = - i.

Модуль комплексного числа Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число, равное расстоянию от точки z до начала координат b a A (a, b) y x Геометрически модуль комплексного числа z = a + bi - это расстояние от z до О, а более формально - расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу z, до начала координат. На рисунке вектор изображает комплексное число отличное от нуля число z = a + bi O

Тригонометрическая форма комплексного числа где φ – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа,

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Теорема 1. Если и то: б) а) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z любое отличное от нуля комплексное число, п любое целое число. Тогда