Def. Точка z 0 g называется точкой сгущения (предельной точкой) g, если в Def. (по Гейне) Комплексное число w 0 называется пределом f(z) z g, в точке z 0 g, если для {z n } z 0 {f(z n )} w 0. Замечание. Предполагается, что z 0 является точкой сгущения (предельной точкой) g. §3. Непрерывность функции комплексной переменной. п.1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке.

Теорема. Определения по Гейне и по Коши эквивалентны. Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z 0 и w 0 в отличие от определения предела по Гейне. Def. (по Коши) Комплексное число w 0 называется пределом f(z) z g, в точке z 0 g, если для

п.2. Непрерывность f(z). Def. f(z), z g называется непрерывной в точке z 0 g, если Def. f(z), z g называется непрерывной в точке z 0 g, если

Замечание 1. Это определение верно как для внутренних, так и для граничных точек g. Def. Точка z 0 называется изолированной точкой в которой нет других точек g. g, если Замечание 2. По определению f(z) считается непрерывной в изолированной точке z 0 g. Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), z g в точке z 0 g справедливо и при z 0 =. При этом под пределом функции f(z) при z по Гейне надо понимать предел {f(z n )}, где {z n } - неограниченно возрастающая последовательность.

В - определении непрерывности f(z) при z условиенадо заменить на Примеры: а) функции w=az+b, w=z *, w=const, б) функция w=arg(z) является непрерывной на всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0, z= и отрицательной части действительной оси. w=Re z, w=z n, w=|z| - непрерывны на всей комплексной плоскости.

Def. Функция комплексной переменной f(z), z g называется непрерывной в области g, если она непрерывна в z g. Обозначение: f(z) C(g). Аналогично определяются f(z) C( g) и f(z) C( g). При определении непрерывности по Гейне в z g или z g надо рассматривать или Замечание 4. В случае непрерывности по Коши для f(z) C(g) для заданного = (,z), т.е. где разное для разных z.

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), u(x,y), v(x,y)- действительные функции действительных переменных. Теорема. Необходимым и достаточным условием f(z) C(g) является требование, чтобы u(x,y) и v(x,y) были непрерывны в области g плоскости (x,y) по совокупности переменных.

п.3. Равномерная непрерывность f(z). Def. Функция комплексной переменной f(z), z g называется равномерно непрерывной в области g, для >0 ( )>0 (зависящее только от ) такое, что для z 1, z 2 g : z 1 -z 2 < ; f(z 1 )-f(z 2 )

Примеры.Непрерывные и равномерно непрерывные функции: Непрерывные, но не равномерно непрерывные Def. Множество g называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором круге (т.е. R>0 и z 0 : g {z| |z-z 0 |

Доказательство. (от противного) Пусть для заданного 0 и для n >0 найдутся хотя бы две точки такие, что |z 1 (n) -z 2 (n) | 0. Устремив n 0, получим последовательности {z 1 (n) } и {z 2 (n) }, удовлетворяющие данным неравенствам. Т.к. {z 1 (n) } ограничена по условию, то из нее можно извлечь {z 1 (nk) } z 1. При этом {z 2 (nk) }- ограничена и из нее можно извлечь {z 2 (nl) } z 2. Т.к. {z 1 (nl) } z 1, а n 0, то z 1 =z 2, и в силу сделанного предположения |f(z 1 )-f(z 2 )|> 0, что противоречит условию непрерывности f(z) C( g).