Оглавление: Многоугольники Четырехугольник Свойства четырехугольника Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Характеристическое свойство фигуры Площадь ПараллелограмПрямоугольник м Ромб Трапеция Виды трапеций Площадь Квадрат

Многоугольником называется геометрическая фигура, состоящая из n (n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками. Многоугольник - это замкнутая ломаная линия. Существуют три различных варианта определения: Плоские замкнутые ломаные; Плоские замкнутые ломаные без самопересечений; Части плоскости, ограниченные ломаными. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки сторонами многоугольника. Свойства Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна (в градусах) (в радианах).радианах Число диагоналей всякого многоугольника равно n(n 3) / 2, где n число сторон.

Четырёхугольник это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольникимногоугольниквершиныстороны Виды четырехугольников Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат Трапеция Дельтоид Выкулый не выпуклый

Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Средние линии Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин. Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

На рисунке 1 диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, а диагонали EG и FH невыпуклого четырехугольника EFGH не пересекаются. Это свойство оналей характерно для любого выпуклого (и соответственно невыпуклого) четырехугольника. Однако при всей его очевидности строгое обоснование этого свойства оказывается достаточно сложным. Предварительно рассмотрим два вспомогательных утверждения. Напомним, что согласно одной из аксиом планиметрии каждая прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из полуплоскостей. рисунок 1 рисунок 2

Утверждение 1. Если начало луча AB (точка A) лежит на прямой а,а точка B-в какой-то полуплоскости с границей а, то и весь луч лежит в этой полуплоскости (рисунок 3) рисунок 3

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Рассмотрим неразвернутый угол ACB (рисунок 4). Прямая BC разделяет всю плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит луч CA. Обозначим эту полуплоскость буквой a. Точно так же прямая AC разделяет всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит луч CB. Обозначим эту полуплоскость буквой p. Общая часть полуплоскостей а и p называется внутренней областью угла ACB. рисунок 4

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Утверждение 2. Если точки А и В лежат на разных сторонах неразвернутого угла с вершиной С, а точка D лежит внутри угла АСВ (т.е. в его внутренней области), то луч СD пересекает отрезок АВ (рисунок 5) С наглядной точки зрения утверждения 1 и 2 совершенно очевидны. рисунок 5

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника Теоремы. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого не пересекаются. Доказательство. 1) Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD (рисунок 6). рисунок 6 2) Рассмотрим теперь невыпуклый четырехугольник ABCD(рисунок 7). рисунок 7 Следствие. Если диагонали четырехугольника пересекаются, то этот четырехугольник выпуклый

Х АРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ФИГУРЫ Утверждение о характеристическом свойстве фигуры можно сформулировать с использованием словосочетания тогда и только тогда. Например: диагонали четырехугольника пересекаются тогда и только тогда, когда он является выпуклым. Площадь Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:, где d 1, d 2 диагонали и α угол между диагоналями., где e, f длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон., где p полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4- угольников следует формула Брахмагупты.формула Брахмагупты Особые случаи Если 4-угольник и вписан и описан, то.

Площадь. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна: Площадь, где d 1, d 2 диагонали и α угол между диагоналями., где e, f длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон., где p полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.формула Брахмагупты Особые случаи Если 4-угольник и вписан и описан, то

Параллелограмм Признаки параллелограмма Четырехугольник является параллелограммом, если выполнено любое из следующих условий: противоположные стороны четырехугольника попарно равны; противоположные углы четырехугольника попарно равны; диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся попалам; две стороны четырехугольника равны и параллельны.

Свойства Диагонали прямоугольника равны. Прямоугольник является параллелограммом его противоположные стороны параллельны. параллелограммом Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора). теореме Пифагора Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. Стороны и диагонали Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной длину более короткой пары сторон. Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.теореме Пифагора

Свойства Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.параллелограммом Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC BD) и в точке пересечения делятся пополам. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов ( DCA = BCA, ABD = CBD и т. д.). биссектрисами Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.Сумма Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту. Кроме того площадь ромба может быть вычислена по формуле: где угол между двумя смежными сторонами ромба.

Т РАПЕЦИЯ Элементы трапеции Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.средней линией Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.высотой

Прямоугольная трапеция Равнобокая трапеция Свойства Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.теорема Фалесаугла В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. У равнобедренной трапеции диагонали равны. Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.описатьокружность Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.вписать окружность В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой. Если у равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок соединяющий середины оснований равен их полуразности.

В случае, если a и b основания и h высота, формула площади: площади Формула, где a, b основания, c и d боковые стороны трапеции: Площадь равнобедренной трапеции с углом при основании равном 30° и радиусом вписанной окружности равном r : S = 8r 2

Свойства Квадрат может быть определён как прямоугольник, у которого две смежные стороны равны прямоугольник ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом). ромб Пусть t сторона квадрата, R радиус описанной окружности, r радиус вписанной окружности. Тогда Радиус вписанной окружности квадрата равен:, Радиус описанной окружности квадрата равен:, периметр квадрата равен: периметр, площадь S равна площадь S = t 2 = 2R 2 = 4r 2. Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр);ось симметрии четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две параллельно сторонам.