Подобные треугольники

Подобные фигуры Фигуры принято называть подобными, если они имеют одинаковую форму (похожи по виду).

Подобие в жизни( карты местности )

Пропорциональные отрезки Определение: отрезки называются пропорциональными, если пропорциональны их длины А1В1А1В1 АВ С1К1С1К1 СК Говорят, что отрезки А 1 В 1 и С 1 К 1 пропорциональны отрезкам АВ и СК. Пропорциональны ли отрезки АВ и СК отрезкам ЕР и НТ, если: а) АВ = 15 см, СК = 2,5 см, ЕР = 3 см, НТ = 0,5 см ? б) АВ = 12 см, СК = 2,5 см, ЕР = 36 см, НТ = 5 см ? в) АВ = 24см, СК = 2,5 см, ЕР = 12 см, НТ = 5 см ? да нет А В 6 см С К 4 см А1А1 В1В1 12 см С1С1 8 см К1К1

б Пропорциональные отрезки Тест 1. Указать верное утверждение: а) отрезки АВ и РН пропорциональны отрезкам СК и МЕ; б) отрезки МЕ и АВ пропорциональны отрезкам РН и СК; в) отрезки АВ и МЕ пропорциональны отрезкам РН и СК. А В 3 см С К 2см М Е 9 см Р Н 6 см Приложение: равенство МЕАВ РНСК можно записать ещё тремя равенствами: РНСК МЕАВ ; МЕРН АВСК ; АВСК МЕРН.

Пропорциональные отрезки 2.2. Тест F Y Z R L S N 1 cм 2 см 4 см 2 см 3 см Какой отрезок нужно вписать, чтобы было верным утверждение: отрезки FY и YZ пропорциональны отрезкам LS и ……. а) RL; б) RS; в) SN а) RL

Пропорциональные отрезки (нужное свойство) Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Н Дано: АВС, АК – биссектриса. Доказательство: 1 А ВК С 2 Т. к. АК – биссектриса, то 1 = 2, значит, АВК и АСК имеют по равному углу, поэтому Доказать: ВК АВ КС АС S АВК S АСК АВ АК АС АК AB AC АВК и АСК имеют общую высоту АН, значит, S АВК S АСК ВК КCКC AB АCАC BK KСKС ВК АВ КС АС Следовательно, Проведём АН ВС.

Подобные треугольники Определение: треугольники называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А1А1 В1В1 С1С1 А В С Сходственными сторонами в подобных треугольниках называются стороны, лежащие против равных углов. А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А1В1А1В1 В1С1В1С1 А1С1А1С1 АВВС АС k A 1 B 1 C 1 ABC K – коэффициент подобия ~

Подобные треугольники А1А1 В1В1 С1С1 А В С Нужное свойство: АВ ВС АС А1В1А1В1 В1С1В1С1 А1С1А1С1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1, –коэффициент подобия 1 k A 1 B 1 C 1 ABC, K – коэффициент подобия, ~ А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А1В1А1В1 В1С1В1С1 А1С1А1С1 АВВС АС K,K, Если то Если то

Реши задачи 3. По данным на чертеже найти стороны АВ и В 1 С 1 подобных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 : А В СА1А1 С1С1 В1В ,5 ? ? 1.Найти стороны А 1 В 1 С 1, подобного АВС, если АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = Найти стороны А 1 В 1 С 1, подобного АВС, если АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 1/3.

Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. М К Е A B C Дано: МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: Р МКЕ : Р АВС = k Доказательство: K,K, МК АВ КЕ ВС МЕ АС Значит, МК = k АВ, КЕ = k ВС, МЕ = k АС. Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то Р МКЕ = МК + КЕ + МЕ = k АВ + k ВС + k АС = k (АВ + ВС + АС) = k Р АВС. Значит, Р МКЕ : Р АВС = k.

Теорема 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициентa подобия. М К Е A B C Дано: МКЕ ~ АВС, K – коэффициент подобия. Доказать: S МКЕ : S АВС = k 2 Доказательство: Т. к. по условию МКЕ ~ АВС, k – коэффициент подобия, то M = A, k, MK AB ME AC значит, МК = kАВ, МЕ = kАС. S MKE S ABC MK ME AB AC kАВ kАС АВ АС k2k2

Реши задачи 1.Две сходственные стороны подобных треугольников равны 8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см. Чему равен периметр первого треугольника ? 24 см 2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см 2. Чему равна площадь первого треугольника ? 81 см 2 3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см 2. Чему равна площадь первого треугольника ? 8 см 2 4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см 2 и 48 см 2. Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна сходственная сторона второго треугольника ? 8 см

Решение задачи Площади двух подобных треугольников равны 50 дм 2 и 32 дм 2, сумма их периметров равна 117 дм. Найдите периметр каждого треугольника. Найти: Р АВС, Р РЕК Решение: Т. к. по условию треугольники АВС и РЕК подобны, то: Дано: АВС, РЕК подобны, S АВС = 50 дм 2, S РЕК = 32 дм 2, Р АВС + Р РЕК = 117дм. S АВС S РЕК K2.K2. Значит, k = 5 4 K,K, Р АВС Р РЕК Р АВС Р РЕК 5 4 1,25 Значит, Р АВС = 1,25 Р РЕК Пусть Р РЕК = х дм, тогда Р АВС = 1,25 х дм Т. к. по условию Р АВС + Р РЕК = 117дм, то 1,25 х + х = 117, х = 52. Значит, Р РЕК = 52 дм, Р АВС = 117 – 52 = 65 (дм). Ответ: 65 дм, 52 дм.

« Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит» М. В. Ломоносов