Работу выполняла: Грибкова Евгения. Ученица 7 А класса. Привет!

Первый признак равенства треугольников : Теорема Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС и А1В1С1 Доказать: АВС=А1В1С1 Доказательство: Так как А=А1,то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что бы вершина А совместилась с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1В1. Поскольку АВ=А1С1, АС=А1С1, то сторона АВ совместятся со стороной А1С1; А сторона АС – со стороной А1С1; в частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Итак, треугольники АВС А1В1С1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана. В С А С1 А1 В1

Теорема Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС,А1В1С1, АВ=А1В1, А=А1,В=В1. Доказать: АВС=А1В1С1 Доказательство: Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ - с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1. Так как А=А1 и В=В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС – на луч В1С1. Поэтому вершина С – общая точка сторон АС и СВ – окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно, Совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и А1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана. В С А С1 А1 В1

Теорема Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Дано: АВС, А1В1С1, АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1. Доказать: АВС = А1В1С1. Доказательство: приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. Возможны три случая: луч С1С проходит внутри угла А1В1С1; луч С1С совпадает с одной из точек сторон этого угла; луч С1С проходит внутри угла А1В1С1. Рассмотрим первый случай ( остальные рассмотрите самостоятельно. Так как по условию теоремы стороны Ас и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники А1С1С и В1С1с – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 = 2, 3 = 4, поэтому А1СВ1 = А1С1В1. Итак, Ас=А1С1, ВС=В1С1, С = С1. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана. В С А С1 А1 В1