Признаки равенства треугольников 1.Треугольник и его элементыТреугольник и его элементы 2.Задачи по теме «Первый признак равенства треугольников»Задачи по теме «Первый признак равенства треугольников» 3.Задачи по теме «Второй признак равенства треугольников»Задачи по теме «Второй признак равенства треугольников» 4.Задачи по теме «Третий признак равенства треугольников»Задачи по теме «Третий признак равенства треугольников» 5.Справочный материал (формулировка теоремы и ее доказательство): а) Первый признак равенства треугольниковПервый признак равенства треугольников б) Второй признак равенства треугольниковВторой признак равенства треугольников в) Третий признак равенства треугольниковТретий признак равенства треугольников

D N L Назовите: 1) сторону, лежащую против угла N : 2) сторону, лежащую против угла NDL: 3) угол, лежащий против стороны DN: 4) угол, лежащий против стороны DL: 5) углы, прилежащие к стороне NL: и Рис. 1

M F N L O Докажите, что OLF = OMN Решение: 1) Рассмотрим OLF и : а) OL = - по условию, б) OF = - по условию, Следовательно OLF = - по двум сторонам и углу между ними. Рис. 2 в) LOF = - как вертикальные углы.

B S A R S Докажите, что ARS = BRS а ) Сторона = - по условию. б ) Сторона = - общая сторона. в ) = - по условию. г ) Следовательно, ARS = - по двум и углу. 2) Т. к. ASR= BSR, то соответственные стороны и углы равны, BR = AR = 18 см, BRS = ARS = 15˚ Решение : 1) Рассмотрим ARS и Рис. 3

Докажите, что AXO = BZO Решение : A X B Z O 1) Рассмотрим BZO и У них : а ) Сторона = - по условию ; б ) = - по условию ; в ) = - как вертикальные. Следовательно AXO = - по стороне и двум прилежащим к ней. Рис. 4

F B D A На рисунке 5 луч DF биссектриса угла ADF а ) Докажите, что ADF = BDF; б ) Найдите сторону BD и DBF. Решение: а) Рассмотрим ADF и. У них: 1) = - общая сторона; 2) = - по условию; 3) =, так как DF – 17 дм 110˚ биссектриса ADB. Следовательно, ADF = по и прилежащим к ней. б) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов, то есть сторона DB = = дм, B = =. ˚ Рис. 5

A N B C 108 ̊ а) Докажите, что CAN = BAN б) Найдите ABN. Решение: а) Рассмотрим и BAN. У них: 1) AC = - по условию; 2) CN = - по условию; 3) AN = AN – общая сторона. Значит, CAN = - по трем. б) Из равенства треугольников CAN и BAN следует равенство соответствующих углов, то есть ABN = =. Рис. 6 ˚

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB=DE, AC=DF, углы A и D равны (рис. 7). Докажем, что ABC = DEF. Так как A = D, то треугольник ABC можно наложить на треугольник DEF так, что вершина A совместится с вершиной D, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи DE и DF. Поскольку AB=DE, AC=DF, то сторона AB совместится со стороной DE, а сторона AC – со стороной DF; в частности, совместятся точки B и E, C и F. Следовательно, совместятся стороны BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, значит, они равны. Рис. 7 C A B D E F Доказательство Теорема доказана. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB = DE, A = D, B = E (рис. 8). Докажем, что ABC= DEF. Наложим треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, сторона AB – с равной ей стороной DE, а вершины C и F оказались по одну сторону от прямой DE. Так как A = D и B= E, то сторона AC наложится на луч DF, а сторона BC – на луч EF. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче DF, так и на луче EF и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной F. Значит, совместятся стороны AC и DF, BC и EF. Итак, треугольники ABC и DEF полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана. C A B Рис. 8 D E F

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых AB = DE, BC = EF, CA = FD (рис. 9). Докажем, что ABC = DEF. Приложим треугольник ABC к треугольнику DEF так, чтобы вершина A совместилась с вершиной D, вершина B – с вершиной E, а вершины C и F оказались по разные стороны от прямой DE (рис. 10). Возможны три случая: луч FC проходит внутри угла DFE (рис. 10, а); луч FC совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 10, б); луч FC проходит вне угла DFE (рис. 10, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи можете рассмотреть самостоятельно). Так как по условию теоремы стороны AC и DF, BC и EF равны, то треугольники DFC и EFC – равнобедренные (см. рис. 10, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника 1 = 2, 3 = 4, поэтому DCE = DFE. Итак, AC = DF, BC = EF, C = F. Следовательно, треугольники ABC и DEF равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана. Рис. 9 A C B F D E D (A) CF E (B) D (A) E (B)CF Рис. 10 а)б) в) E (B) CF D (A)