Математика Дополнительные признаки равенства треугольников Серова Наталья Александровна, Мурзина Наталья Викторовна, учителя математики, информатики и ИКТ г.Омск МОУ «Средняя общеобразовательная школа 16»

Для доказательства используются признаки равенства прямоугольных треугольников. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 1

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, С = С 1, AB = A 1 B 1, высота AH равна высоте A 1 H 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 H H1H1

Доказательство: Прямоугольные ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1. Учитывая, что С = С 1, имеем равенство A = A 1. Таким образом, в ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 2 Теорема 8

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1 M 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 M M1M1

Доказательство: Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M 1 D 1 = C 1 M 1. Четырехугольники ACBD и A 1 С 1 B 1 D 1 параллелограммы. ACD = A 1 C 1 D 1 по трем сторонам. Следовательно, ACD = A 1 C 1 D 1. Аналогично, BCD = B 1 C 1 D 1 по трем сторонам. Следовательно, BCD = B 1 C 1 D 1. Значит, С = С 1 и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). чертеж

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 D D1D1 назад M M1M1

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 3

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, медианы AM = A 1 M 1, BK = B 1 K 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 M M1M1 K K1K1 O O1O1

Доказательство: Точки O и O 1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит, ABO = A 1 B 1 O 1 по трем сторонам. Следовательно, BAO = B 1 A 1 O 1, значит, ABM = A 1 B 1 M 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ABC = A 1 B 1 C 1. Аналогично доказывается, что BAC = B 1 A 1 C 1. Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, АВС = А 1 В 1 С 1 равны по второму признаку равенства треугольников.

Е с ли две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, заключенной между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема 4

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, биссектриса CD равна биссектрисе С 1 D1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 D D1D1

Доказательство: Продолжим стороны AC и A 1 C 1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C 1 E 1 = B 1 C 1. Тогда, BCE = B 1 C 1 E 1 по трем сторонам. Значит, E = E 1 и BE = B 1 E 1. ABE = A 1 B 1 E 1 по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A 1 B 1. Таким образом, ABC = A 1 B 1 C 1 по трем сторонам (3 признак равенства треугольников). чертеж

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 D D1D1 E E1E1 назад

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника. Теорема 5

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, AC = A 1 C 1, AC = A 1 C 1, медианы CM и C 1 M 1 равны, высоты CH и C 1 H 1 равны. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 MM1M1 H H1H1

Доказательство: П рямоугольны е ACH = A 1 C 1 H 1 по гипотенузе и катету. Следовательно, A = A 1 и AH = A 1 H 1. Прямоугольные треугольники CMH = C 1 M 1 H 1 по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M 1 H 1, откуда AM = A 1 M 1, значит, AB = A 1 B 1. Таким образом, ABC = A 1 B 1 C 1 по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Два треугольника равны, если медиана и два угла на которые делит угол медиана, одного треугольника соответственно равны медиане и двум углам, на которые делит медиана угол другого треугольника. Теорема 6

A B C M B1B1 A1A1 M1M1 C1C1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, BM=B 1 M 1, ABM= A 1 B 1 M 1, CBM= C 1 B 1 M 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

A B C M B1B1 A1A1 M1M1 C1C1 D D1D1 Доказательство: В данных треугольниках удвоим медианы BM=MD и B 1 M 1 =M 1 D 1. 1.ΔAMD= ΔCMB, ΔA 1 M 1 D 1 = ΔC 1 M 1 B 1 ( по 1 признаку) Из равенства этих треугольников следуют равенства: AD=BC, A 1 D 1 =B 1 C 1 и ADM= CBM, A 1 D 1 M 1 = C 1 B 1 M 1 2. ΔABD= ΔA 1 B 1 D 1 ( по 2 признаку) Из равенства этих треугольников следуют равенства: AB=A 1 B 1, а значит, BC=AD=B 1 C 1 =A 1 D 1 3. ΔABC= ΔA 1 B 1 C 1 ( по первому признаку равенства треугольников)

Два треугольника равны, если сторона, и две высоты, опущенные на две другие стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам, опущенным на две другие стороны другого треугольника. Теорема 7

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, высота AM равна высоте A 1 M 1, высота BK равна высоте B 1 K 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 M M1M1 K K1K1

Доказательство: Из равенства прямоугольных треугольников AMB = A 1 M 1 B 1, BKA = B 1 K 1 A 1 (по катету и гипотенузе) следует равенство углов: BAC = B 1 A 1 C 1, ABC = A 1 B 1 C 1. Поэтому ABC = A 1 B 1 C 1 по стороне ( AB = A 1 B 1 ) и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого. Теорема 8

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, медианы AK = A 1 K 1, BL = B 1 L 1, CM = C 1 M 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 M M1M1 K K1K1 O O1O1 L L1L1

Доказательство: Пусть O и O1 точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O 1 M 1 треугольник ов ABO и A 1 B 1 O 1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников. Аналогично равны АО И А 1 О 1, ВО и В 1 О 1, так как они составляют две третьих соответствующих медиан данных треугольников. По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 2, ABO = A 1 B 1 O 1, значит, AB = A 1 B 1. 2 Аналогично доказывается, что BC = B 1 C 1 и AC = A 1 C 1. Таким образом, ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам ( по третьему признаку равенства треугольников).

Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника. Теорема 9

АВ С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ABC и A 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, высоты AH = A 1 H 1, BG = B 1 G 1, CF = C 1 F 1. Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 G G1G1 H H1H1 F F1F1

Доказательство: Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a 1, b 1, c 1, а соответствующие высоты h a, h b, h c и h 1a, h 1b, h 1c. Имеют место равенства ah a = bh b = ch c и a 1 h 1a = b 1 h 1b = c 1 h 1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства из которых следует, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны. А так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.