Нечеткие множества Основные понятия, функция принадлежности

Характеристическая функция Пусть U так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества A U это функция μ A, значения которой указывают, является ли x U элементом множества A:

Функция принадлежности Нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке [0,1]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение μ A (x) степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Нечеткое множество Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар A={ | x U}, где μA функция принадлежности, т.е. μA : U[0, 1].

Пример U={a, b, c, d, e} A={,,,, } a не принадлежит множеству A, b принадлежит ему в малой степени, c более или менее принадлежит, d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.

Лингвистическая переменная Лингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка.

Пример Лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: "очень молодой", "молодой", "среднего возраста", "старый", "очень старый" и др. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека.

«молодой»

Терм-множество Терм–множеством (term set) называется множество всех возможных значений лингвистической переменной. Термом (term) называется любой элемент терм–множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Пример Рассмотрим переменную скорость автомобиля, которая оценивается по шкале низкая", "средняя", "высокая и очень высокая". В этом примере лингвистической переменной является скорость автомобиля, термами - лингвистические оценки низкая", "средняя", "высокая и очень высокая, которые и составляют терм–множество.

Строгое определение Лингвистическая переменная задается пятеркой (x, T, U, G, M), где x - имя переменной; T - терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве U; G - синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; M - семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами G.

Пример Рассмотрим лингвистическую переменную с именем x= "температура в комнате". Тогда оставшуюся четверку (T, U, G, M) можно определить так: универсальное множество - U=[5, 35]; терм-множество - T={"холодно", "комфортно", "жарко"} с такими функциями принадлежностями (u U):

Пример синтаксические правила G, порождающее новые термы с использованием квантификаторов "не", "очень" и "более-менее"; семантические правила M, в виде таблицы Квантификатор Функция принадлежности (u U) не t 1– μ t (u) очень t ( μ t (u)) 2 более-менее t μ t (u)

Носитель и высота Носителем (суппортом) нечеткого множества A называется четкое множество supp A таких точек в U, для которых величина μA(x) положительна, т.е. supp A={x| μ A (x) >0}. Высотой нечеткого множества A называется верхняя граница его функции принадлежности. Для дискретного универсального множества U супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов.

Нормальное нечеткое множество Нечеткое множество A называется нормальным, если В противном случае оно называется субнормальным. Нечеткое множество называется пустым, если x U(μA(x)=0).

Непустое субнормальное нечеткое множество можно привести к нормальному (нормализовать) по формуле

Нормализация нечеткого множества Ã с функцией принадлежности.

Ядро Ядром нечеткого множества Ã называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице. core(A)={x| μ A (x) =0} Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

Срез Множеством уровня α (α-срезом, α- сечением) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества U, определяемое по формуле A α ={x| μ A (x)α}, α [0,1].

Пример

Точка перехода Множество строгого уровня определяется в виде A α ={x| μ A (x)>α}. В частности, носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых μ A (x)>0. Точка перехода нечеткого множества A это такой элемент x U, для которого μ A (x)=0.5.

Четкое множество Четкое множество A*, ближайшее к нечеткому множеству A, определяется следующим образом:

Выпуклое множество Нечеткое множество A в пространстве U=Rn называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, если его функция принадлежности выпукла, т.е. для каждой пары точек x и y из U функция принадлежности удовлетворяет неравенству μ A (λx+(1–λ)y)min{μ A (x), μ A (y)}, для любого λ [0, 1]

Пример

Операции Объединение μ A B (x)=max{μ A (x), μ B (x)} Пересечение μ AB (x)=min{μ A (x), μ B (x)} Дополнение

Пример

Треугольная норма Треугольной нормой (t-нормой) называется бинарная операция T на единичном интервале [0,1]×[0,1][0,1], удовлетворяющая следующим аксиомам для любых a, b, c [0,1] : T(a,1)=a (граничное условие); T(a,b)T(a,c) если bc (монотонность); T(a,b)=T(b,a) (коммутативность); T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c) (ассоциативность). Наиболее часто используются такие t-нормы: пересечение по Заде – T(a,b)=min(a,b); вероятностное пересечение – T(a,b)=ab; пересечение по Лукасевичу – T(a,b)=max(a+b-1,0).

Пересечение

Треугольная конорма Треугольной конормой (s-нормой) называется бинарная операция S на единичном интервале [0,1]×[0,1][0,1], удовлетворяющая следующим аксиомам для любых a, b, c [0,1] : S(a,0)=a (граничное условие); S(a,b)S(a,c) если bc (монотонность); S(a,b)=S(b,a) (коммутативность); S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c) (ассоциативность). Наиболее часто используются такие s-нормы: объединение по Заде S(a,b)=max(a,b);; вероятностное объединение S(a,b)=a+b–ab; объединение по Лукасевичу S(a,b)=min(a+b,1).

Объединение