Определение несобственного интеграла Несобственный интеграл по неограниченному промежутку (первого рода) Пример Первый признак сходимости несобственного интеграла первого рода Второй признак сходимости несобственного интеграла первого рода Несобственный интеграл от неограниченной функции Пример Сходимость несобственного интеграла с параметром, определяющего гамма-функцию Пример

Интеграл называется несобственным, если один или оба его пределы бесконечны или подынтегральная функция имеет точки разрыва второго рода или имеет место и то, и другое

Пусть функция f(x) определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке Несобственным интегралом от функции f(x) по бесконечному промежутку - несобственным интегралом 1-го рода, называют предел Если предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Если f(x) > 0, то несобственный интеграл представляет площадь неограниченной криволинейной трапеции. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница:

@ Вычислить несобственный интеграл y x e -x A

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке и при этом 0

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке и не отрицательны и существует конечный отличный от нуля предел их отношения f(x)/g(x), то несобственные интегралы в смысле сходимости ведут себя одинаково, то есть оба сходятся или оба расходятся. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл. Если последний интеграл расходится, а исходный интеграл сходится, то его называют условно сходящимся.

@ Исследовать сходимость несобственного интеграла Ответ: интеграл сходится абсолютно (по первому признаку сходимости)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке, а в точке b является неограниченной, т.е. имеет в этой точке бесконечный разрыв Несобственным интегралом второго рода от функции f(x) называют предел Если предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Если f(x) > 0, то несобственный интеграл представляет площадь неограниченной криволинейной трапеции. Если у f(x) бесконечный разрыв в точке c отрезка [a,b], то

@ Исследовать сходимость y x 01 Ответ : интеграл сходится (по второму признаку сходимости)

Гамма-функция – эйлеров интеграл второго рода (x) функция определена в области x > 0 Интегралсмешанный несобственный интеграл с особыми точками Для любого x справедлива формула (x+1) = x (x) называемая формулой приведения Для любого справедлива формула

Гамма-функция определяется для x > 0 как несобственный интеграл с параметром Интеграл, определяющий гамма - функцию, является несобственным первого рода. При интеграл несобственный второго рода, так как подинтегральная функция имеет сингулярность при x = 0. Интеграл сходится если p > -1

Гамма-функция определяется для x > 0 как сходящийся несобственный интеграл Заметим, что при t > 0 при любом x Интеграл сходится по признаку сравнения.

(1) = 1 (n+1) = n ! Интеграл Эйлера - Пуассона 01 (x) x 1

@ Исследовать электростатический потенциал одиночного электрического заряда eM0M0 Поле точечного заряда является полем градиента потенциала