Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 14. Лекция 14 Общее уравнение динамики. Пример решения задачи на применение общего уравнения динамики. Обобщенные силы.

1818 Лекция 14 Общее уравнение динамики – Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить к решению задач динамики, а именно: 1. Применить принцип Даламбера, сводящий задачу динамики с задаче статики: 2. Применить принцип возможных перемещений, решающий эту статическую задачу: Просуммируем по всем точкам: = 0 – для идеальных связей Получим общее уравнение динамики: В любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции несвободной механической системы с двухсторонними идеальными связями на любом возможном перемещении равна нулю. Более короткие записи общего уравнения динамики: или Или еще короче:где бA – возможная работа всех задаваемых сил и сил инерции на любом возможном перемещении. Пример. Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью. При = 0 пружина не деформирована. Жесткость пружины c. Длина каждого из стержней l. Плечо подвески a. Вес каждого из шаров G, вес муфты G 1. Определить угловую скорость установившегося вращения для данного угла. a 1. Покажем заданные силы: 2. Добавим силы инерции: 3. Упругая связь (пружина), не являющаяся идеальной (совершает работу на возможных перемещениях), должна быть отброшена и заменена реакцией, которая включается в число заданных сил: Модуль реакции пружины пропорционален изменению длины (укорочению) пружины: 4. Определим проекции возможных перемещений (вариации координат) точек приложения сил: A B x y 5. Составим общее уравнение динамики: Подставим значения сил инерции и реакции пружины: Отсюда после некоторых сокращений и упрощений:

Лекция 14 ( продолжение – 14.2 ) Обобщенные силы – следующий шаг к обобщению, а именно, механического действия заданных сил на систему, после введения обобщенных координат (обобщения задания движения системы). Пусть механическая система имеет s степеней свободы, ее положение определяется s обобщенными координатами q 1, q 2,…, q s совокупность этих перемещений представляет одно из возможных перемещений системы. Элементарная работа всех заданных сил системы на этих перемещениях равна: Сообщим некоторой обобщенной координате q j бесконечно малое приращения, оставляя остальные обобщенные координаты неизменными, т.е. бq 1 =бq 2 = … = бq j-1 = 0, бq j 0, бq j+1 =…= бq s = 0. В результате все N точек системы получат какие-то бесконечно малые перемещения: Поставим в соответствие ко всем заданным силам системы некоторую одну (воображаемую) силу, которая совершает такую же работу на данном возможном (обобщенном) перемещении бq j, что и все силы системы: Отсюда величина этой силы определяется как: -обобщенная сила Q j, соответствующая обобщенной координате q j – скалярная величина, равная отношению элементарной работы заданных сил на всех перемещениях системы, вызванных элементарным приращением бq j 0 координаты q j, к величине этого приращения. 1. Размерность этой силы определяется размерностью обобщенной координаты. Например, если q j есть линейная обобщенная координата, то размерность обобщенной силы Q j соответствует силе (Н). Если q j есть угловая обобщенная координата, то размерность обобщенной силы Q j соответствует паре сил или моменту (Нм). 2. Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат. Размерность каждой из обобщенных сил определяется размерностью соответствующей обобщенной координаты. Другие формулы для вычисления обобщенной силы: В векторной форме: Радиус-вектор k-той точки есть функция всех обобщенных координат: Вариация радиуса-вектора по обобщенным координатам при бq 1 =бq 2 = … = бq j-1 = 0, бq j 0, бq j+1 =…= бq s = 0 : Отсюда: В координатной форме: В случае потенциальных сил:

Лекция 14 ( продолжение – 14.3 ) Пример вычисления обобщенных сил – Для механической системы трех грузов с двумя неподвижными и одним подвижным блоками определить обобщенные силы Q j Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат. Число обобщенных координат равно количеству степеней свободы, которое можно определить последовательным наложением связей: Ограничим горизонтальное перемещение груза 1, грузы 2 и 3 могут вертикально перемещаться. Ограничим дополнительно вертикальное перемещение, например, груза 3. Итак, n = 2. Выбираем обобщенные координаты q 1 = s 1 и q 2 = s 2 : s1s1 s2s2 2. Для определения Q 1 задаем произвольное малое перемещение бq 1 = бs 1 (бq 2 = бs 2 =0). бs1бs1 бs1бs1 бs 1 /2 Вычисляем возможную работу заданных сил: 3. Для определения Q 2 задаем произвольное малое перемещение бq 2 = бs 2 (бq 1 = бs 1 =0). Вычисляем возможную работу заданных сил: бs2бs2 бs2бs2 бs 2 /2 Груз 2 перемещаться не может (связи считаем двухсторонними). Q1Q1 Q2Q2 Уравнения равновесия в обобщенных силах – Согласно принципа возможных перемещений при равновесии системы: Зададим возможные перемещения точек системы, вызванные бесконечно малыми приращениями всех обобщенных координат: Вычислим возможную работу заданных сил: Перегруппируем суммы произведений: QjQj Приращения обобщенных координат произвольны и независимы друг от друга. Поэтому в полученном уравнении все коэффициенты при них (обобщенные силы) должны быть равны нулю: - условия равновесия сил в обобщенных силах. В рассмотренном выше примере, для равновесия системы необходимо, чтобы Q 1 и Q 2 равнялись нулю. Видно, что Q 1 0 и равновесия нет. Равновесие этой системы возможно лишь при наличии силы трения определенной величины между грузом 1 и опорной плоскостью. Тогда эта сила войдет в выражение для Q 1 : Теперь уравнения равновесия для данной системы определяют соотношения между силами и имеют вид: