Разложение многочлена на множители

Немного теории Разложить многочлен на множители – это значит представить его в виде произведения. Существует несколько способов разложения: Вынесение общего множителя за скобку Способ группировки С помощью формул сокращенного умножения

Вынесение общего множителя за скобку Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки. 19а-38b= 19·а - 19·2b = 19(а – 2b) 3аb 2 + 4bc 3 = b·3a 2 +b·4c 3 =b(3a 2 +4c 3 )

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (это относится к случаю с целочисленными коэффициентами). Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, выбрать для каждого из них наименьший показатель степени. Произведение коэффициента и переменной, найденных на первом и втором шагах, является общим множителем, который следует вынести за скобки.

Пример 1 Разложить на множители: х 4 у 3 – 2х 3 у 2 + 5х 2. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. Наибольший общий делитель коэффициентов 1, -2 и 5 равен 1. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x 2. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x 2. Получим: х 4 y 3 - 2x 3 y 2 + 5x 2 =x 2 (x 2 y 3 - 2xy 2 + 5).

Способ группировки Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена Вынести этот общий множитель за скобки

Пример 2 Рассмотрим пример: разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y Первый способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y). Группировка неудачна. Второй способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2). Третий способ группировки: xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3). Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3). Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ.

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения Вспомним эти формулы: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2.

Пример 3 Разложить на множители 1) x 6 -4a 4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов): x 6 -4a 4 =(x 3 ) 2 -(2a 2 ) 2 =(x 2 -2a 2 )(x 3 +2a 2 ). 2) a 6 +27b 3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов): a 6 +27b 3 =(a 2 ) 3 +(3b) 3 =(a 2 +3b)((a 2 ) 2 -a 2 ·3b+(3b) 2 )= =(a 2 +3b)(a 4 -3a 2 b+9b 4 ). 3) a 2 -4ab+4b 2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом: a 2 -4ab+4b 2 =a 2 +(2b) 2 -2·a·2b=(a-2b) 2.

Пример 4 Найти значение числового выражения Дважды воспользуемся формулой разности квадратов: = (53-47)(53+47) = 6·100 = 6 = (61-39)(61+39) 22· Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями

Комбинации различных приемов разложения на множители В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием. Чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Рассмотрим такой пример.

Пример 4 Разложить на множители многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 1) Вынесем за скобки 4a 2 b 3. Получим: 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a a 2 b+16b 2 ). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a a 2 b + 16b 2. Он является полным квадратом, т.е. 9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 -4b) 2. 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2.

Основные результаты Вы познакомились со следующими приемами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки способ группировки использование формул сокращенного умножения

Автор учитель математики МОУ-СОШ 41 г. Тулы Полянцева Галина Александровна