МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ( ИФО ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ( ИФО ) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ТЕМУ : Выполнили студентки ИФО 3-2 Акимова А. А., Аюнц А. В.

Свободные колебания подвешенной нити Будем рассматривать малые колебания такие, что можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей. Дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной нити : Здесь

Краевые условия Задача о колебании подвешенной нити сводится к интегрированию уравнения с граничным условием : А также с начальными условиями :

Задача сводится к решению уравнения : Решение будем искать в виде : Получаем два уравнения :

Решения При решении используются функции Бесселя напомним уравнение Бесселя Где решением будет функция : Тогда решения требуемых 2- х уравнений будут :

Получим решение Где коэффициенты, найденные с помощью начальных условий, равны соответственно :

Практическая задача Тяжелая однородная нить длины, закрепленная верхним концом, в начальный момент отклонена от вертикальной оси на угол a ( рад.). найти отклонение нити в любой момент времени. Начальные условия : Рисунок :

Решение Функция Бесселя 1- го рода будет равна : Решение этой задачи запишем в виде : Где коэффициенты равны соответственно :

Окончательный ответ получим :

Вывод Уравнение колебания нити является волновым уравнение с переменными коэффициентами Собственные функции выражаются через функции Бесселя Можно сделать вывод, что малые колебания подвешенной нити можно рассматривать как движение, складывающееся из бесчисленного множества гармонических колебаний Рассмотрен пример В отличие от простейших задач х - переменный коэффициент