Элементы теории множеств

Понятие множества Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет

Обычно множества обозначают большими буквами: A,B,X N,…, а их элементы – соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n… В частности, приняты следующие обозначения: – множество натуральных чисел; – множество целых чисел; – множество рациональных чисел; – множество действительных чисел (числовая прямая). – множество комплексных чисел. И верно следующее: N Z Q R C

Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества - большими. Принадлежность элемента m множеству M обозначается так: m M, где знак является стилизацией первой буквы греческого слова (есть, быть), знак непринадлежности:

Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается Ø. Например: множество студентов 1курса - конечное множество; множество звезд во Вселенной - бесконечное множество; множество студентов, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.

Способы задания множеств Существуют три способа задания множеств: 1) описание множества Примеры: Y={yΙ1y 10} –множество значений у из отрезка [1;10] X={xIx>2} – множество всех чисел х, больших 2. 2) перечисление множества Примеры: А={а,б,в}- три начальные буквы русского алфавита N={1,2,3…}-натуральные числа 3)графическое задание множеств происходит с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Заданы два множества: и Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно.

Множество А называют подмножеством множества В (обозначается А В ), если всякий элемент множества А является элементом множества В: см.рис 1.1 Рис. 1.1 При этом говорят, что В содержит А, или В покрывает А Невключение множества С в множество В, обозначается так:

Множества А и В равны (А=В) тогда и только тогда, когда, А В и В А, т. е. элементы множеств А и В совпадают. Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны. Множество С – это множество А, только в нем элемент 3 записан дважды. Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ Семейством множеств называется множество, элементы которого сами являются множествами. Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее из трех множеств. Каждое непустое подмножество А Ø имеет по крайней мере два различных подмножества: само множество А и Ø.

Множество А называется собственным подмножеством множества В, если А В, а В А. Обозначается так: А В. Например, Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества. Мощностью конечного множества М называется число его элементов. Обозначается M Например, B =6. A =3.

Операции над множествами Объединением (суммой) множеств А и В (обозначается А В) называется множество С тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Возможны три случая: 1) А=В; 2) множества имеют общие элементы; 3) множества не имеют общих элементов. Примеры: 1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В= {1,2,3}. 2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А В={1,2,3,4,5,6} 3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В={1,2,3,4,6,8}

Рассмотренные случаи наглядно проиллюстрированы на рисунке А,В А В А В

Пересечением множеств А и В называется новое множество С, которое состоит только из элементов одновременно принадлежащих, множествам А, В Обозначение С=А В Возможны три случая: 1) А=В 2) множества имеют общие элементы 3) множества не имеют общих элементов.

Примеры: 1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В= {1,2,3}. 2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда А В={2,3} 3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В=

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов принадлежащих только множеству А и не принадлежащих В. Обозначение: С=А\В

Даны два множества: А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}. Тогда: A B={1,2,3,b,c,d} B подмножество А А/В={1,c} A B={2,3,b,d}

Свойства: 1. Коммутативность объединения А B=B A 2. Коммутативность пересечения А В=В А 3. Сочетательный закон A (B C)=B (A C) 4. То же и для пересечения. 5. Распределительный относительно пересечения А (В C) = A В A С 6. Распределительный относительно объединения А (B С) = (А B) (A C) 7. Закон поглощения А (A В)=А 8. Закон поглощения А (А B)=A 9. А A=А 10. A А=A

Декартовое (прямое) произведение А и В - это новое множество С, состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент пары берется из множества А, а второй из В. А={1,2,3} В={4,5} С=А В = {(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5)} Мощность декартова произведения равна произведению мощностей множеств А и В: А В = А В

A B В А, кроме если А=В (в этом случае равенство выполняется) Дано: Координатная числовая ось Х.х (-,+ ). Координатная числовая ось Y.у (-,+ ). D=Х Y Декартовое произведение двух осей - точка на плоскости. Рассмотрим декартовое произведение, которое обладает свойством коммутативности. А={Иванов, Петров} В={высокий, худой, сильный} А В= Иванов высокий, Иванов худой, Иванов сильный, Петров высокий, Петров худой, Петров сильный