ТЕОРИЯ РЯДОВ

3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

3.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора: остаточный член в форме Лагранжа. где

Если функция f(x)- бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х 0 (имеет производные любых порядков) и остаточный член R n (x) 0 при n, то ряд называется рядом Тейлора (разложение f(x) по степеням x x 0 )

Если x 0 =0, то получим разложение f(x) по степеням х ряд Маклорена : Т.е. ряд Тейлора (Маклорена) представляет данную функцию f(x) тогда и только тогда, когда

Если же, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции) или даже оказаться расходящимся. Т.о. вопрос о разложении функции в ряд Тейлора (Маклорена) сводится к исследованию поведения остаточного члена R n (x) при n. На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора (Маклорена):

Теорема (*). Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x 0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение

3.6. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно: 1) найти производные 2) вычислить значения производных в точке х=0; 3) написать ряд Маклорена для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4) найти интервал ( R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена R n (x) 0 при n. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых функций.

Пример 1 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Решение 1) Найдем производные: 2) Найдем значения производных в точке х=0:

3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости: т.е. ряд сходится в интервале ( ;+ )

4) Для всех имеем: т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом Следовательно, по теореме (*) Таким образом

Пример 2 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Решение 1) Найдем производные:

2) Найдем значения производных в точке х=0:

3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости: Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е при всех (используем признак Даламбера, т.к. ряд неполный)

4) Для всех имеем: т.е. любая производная функции по модулю не превосходит единицы. Следовательно, по теореме (*) Таким образом имеет место разложение

Метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования (сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование) над имеющимися разложениями.

Пример 3 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Можно получить разложение cosx, воспользовавшись свойствами степенных рядов: Продифференцируем почленно ряд: Решение

Получим ряд, который будет сходиться при том же условии: или

Пример 4 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Формула может быть доказана разными способами. Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию: Решение

Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х=1)

Пример 5 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: (см. пример 4) Решение Заменим х на х 2 :

Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х= 1, т.е. при )

Пример 6 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию, заменив х на х 2 : Решение

Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х= 1, т.е. при )

Пример 7 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: Вместо х подставим х 2 : Решение

Пример 8 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: Решение Имеем Вместо х подставим 2х:

Таким образом:

Пример 9 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: Решение Имеем Вместо х подставим х:

Получаем: Т.о. Очевидно, что ряд сходится в интервале

Пример 10 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: Решение Имеем Вместо х подставим х ln3:

Пример 11 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию: Решение

Таким образом:

который приводится к виду В ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида: заменой хх 0 =t