ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Антонова Евгения, Атрошкина Татьяна B C3C3 C2C2 C1C1 CA A1A1 A2A2 A3A3 Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. Иоганн Вольфганг Гете

СОДЕРЖАНИЕ СОДЕРЖАНИЕ Вступительное слово; Вступительное слово; Вступительное слово; Вступительное слово; Определение геометрической прогрессии; Определение геометрической прогрессии; Определение геометрической прогрессии; Определение геометрической прогрессии; Свойства геометрической прогрессии; Свойства геометрической прогрессии; Свойства геометрической прогрессии; Свойства геометрической прогрессии; Сумма геометрической прогрессии; Сумма геометрической прогрессии; Сумма геометрической прогрессии; Сумма геометрической прогрессии; Сумма бесконечной прогрессии при Сумма бесконечной прогрессии при Сумма бесконечной прогрессии при Сумма бесконечной прогрессии при q

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО …Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, т.е. 2 зерна, на третью – еще в два раза больше, т.е. 4 зерна, и т.д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат? Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени ( ).

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Поэтому нам кажется крайне важным дать здесь полное описание геометрической прогрессии, дабы внимательный ученик мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b 2 :b 1 = b 3 :b 2 =... = b n :b n-1 = b n+1 :b n =.... Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b n ), достаточно знать ее первый член b 1 и знаменатель q. Например, условиями b 1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250,....

СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Последовательность называется возрастающей (убывающей) если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего. Таким образом, если q > 0, то прогрессия является монотонной последовательностью. Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b n ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. b n = b n-1 *b n+1. У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b 1 b n = b 2 b n-1 =..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная. b 1 b n = b 2 b n-1 =..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Так как геометрическая прогрессия это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии при q=1 применяют следующую формулу: S n = b n -b 1 q-1 q-1 При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставив в формулу вместо b n выражение b 1 q n-1. Получим: S n = b 1 (q n -1) q-1, если q=1 q-1, если q=1

СУММА БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ q

ЗАДАЧИ 1. Найдите разность четырнадцатого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 28, а произведение третьего и двадцать второго членов этой прогрессии равно Найдите седьмой и четырнадцатый члены геометрической прогрессии, если их сумма равна 21, а произведение десятого и одиннадцатого членов этой прогрессии равно 98. Решение

ЗАДАЧИ 1. Найдите x, если известно, что числа x – 3, 5x, x+16 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке). 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее тридцатого и двадцать седьмого членов в 30 раз больше суммы двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов. Решение

ЗАДАЧИ 1.Если одиннадцатый член геометрической прогрессии увеличить в 8 раз и сложить с тринадцатым членом, то получится число, в 6 раз большее ее двенадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии. 2.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой к сумме первых двух членов равно Решение

ЗАДАЧИ 1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, в которой сумма квадрата девятого члена и восемнадцатого члена в 13 раз больше семнадцатого члена, а разность квадрата седьмого члена и четырнадцатого члена в 7 раз больше тринадцатого члена. 2. Найдите произведение одиннадцатого, двадцатого, двадцать девятого и тридцать восьмого членов геометрической прогрессии, если известно, что произведение восемнадцатого и тридцать первого ее членов равна 29. Решение

ЗАДАЧИ 1. Сумма четырнадцатого и второго членов геометрической прогрессии равна 16, а сумма их квадратов равна 200. Найдите восьмой член прогрессии. 2. Разность седьмого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 3, а разность десятого и седьмого членов равна 6. Найдите разность тринадцатого и десятого членов этой прогрессии. Решение

ЗАДАЧИ 1. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 2, а четвертый член равен 64. Решение

ЗАДАЧИ 1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен ее восьмому члену. 2. Четвертый член геометрической прогрессии в 4 раза больше ее первого члена. Во сколько раз ее десятый член больше ее восьмого члена? Решение

ЗАДАЧИ 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее тридцать четвертый член равен 35, а тридцать пятый член равен Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение седьмого члена к шестому в 7 раз меньше отношение шестого члена к четвертого. Решение

ЗАДАЧИ 1. Существует ли геометрическая прогрессия, у которой восьмой член равен двенадцать, а двенадцатый равен – 8? 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятьдесят первый член в 36 раз меньше ее пятьдесят третьего члена. Решение

ЗАДАЧИ 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее восемнадцатый член в 27 раз больше ее двадцать первого члена. 2. Отношение суммы шестого и одиннадцатого членов геометрической прогрессии к сумме пятого и десятого ее членов равно 7. Найдите знаменатель прогрессии. Решение

РЕШЕНИЕ Задача 1. b 3 *b 22 =b 1 q 2 *b 1 q 21 =b 1 q 13 *b 1 q 10 =b 14 *b 11 =75 b 11 =x, b 14 =y xy=75 x+y=28 x=28-y x+y=28 y 2 -28y+75=0 (y-5)(y-25)=0 x=3, y=25 b 11 -b 14 =±22 x=25, y=3 Ответ: ±22. Задача 2. b 10 *b 11 =b 7 *b 14 =98, b 7 =x, b 14 =9 x+y=21x=21-yx=21-y xy=98y 2 -21y+98=0(y-14)(y-7)=0 x=7, y=14b 7 =7, b 14 =14 или b 7 =14, b 14 =7 x=14, y=7 Ответ: 7; 14 или 14; 7.

РЕШЕНИЕ Задача 1. x-3 = 5x x 2 +13x-48=5x 5x x+16 x 2 +8x-48=0, (x-4)(x+12)=0x=4 Ответ: 4 Задача 2.b 30 -b 27 =30(b 26 +b 27 +b 28 ), b 1 q b 1 q 26 =30(q 25 b1+b 1 q 26 +b 1 q 27 ) q(q 3 -1)=30(q 2 +q+1)=q(q-1)(q 2 +q+1)=30(q 2 +q+1) q 2 -q+30=0, (q+5)(q-6)=0q=6 Ответ: 6

РЕШЕНИЕ Задача 1.8b 11 +b 13 =6b 12, 8q 10 b 1 +b 1 q 12 -6q 11 b 1 =0 q 2 -6q+8=0, (q-2)(q-6)=0 q=2, q=6. Ответ: 2 или 6. Задача 2. b1+b2+b3+b4 = 1+q 2 = 26q=±1 b1+b Ответ: ± 1. 5

РЕШЕНИЕ Задача 1.b 9 2 +b 18 =13bb 1 2 *q 16 +b 1 q 17 =13b 1 q 16 b 7 2 -b 14 =7b 13 b 1 2 *q 12 -b 1 13 =7b 1 q 16 b 1 +q=13b 1 =10 b 1 -q=7 q=3 Ответ: 10; 3. Задача 2.b 18 *b 31 =b 1 q 17 *b 1 q 30 =b 1 2 *q 47 b 11 *b 20 *b 29 *b 38 =b 1 4 *q =b 1 4 *q 94 =(b 1 2 *q 47 ) 2 =29 2 =841 Ответ: 841.

РЕШЕНИЕ Задача 1. b 14 +b 2 =16 Задача 1. b 14 +b 2 =16 b 2 2 +b 14 2 =200 (b 14 +b 2 ) 2 -(b 2 2 +b 14 2 )=2b 14 *b 2 =2b 8 2 =56b 8 = 28 Ответ: 28. Задача 2. b 7 -b 4 =3b 1 q 6 -b 1 q 3 =4b 1 q 3 (q 3 -1)=3q 3 =2 b 10 -b 7 =6b 1 q 9 -b 1 q 6 =12b 1 q 6 (q 3 -1)=6 b 10 -b 7 =6b 1 q 9 -b 1 q 6 =12b 1 q 6 (q 3 -1)=6 b 13 -b 10 =b 1 q 12 -b 1 q 9 =b 1 q 9 (q 3 -1)=q 3 (b 1 q 6 (q 3 -1))=2*6=12 Ответ: 12.

РЕШЕНИЕ Задача 1. b 9 =b 10 /q, q=b 11 /b 10, b 9 =b 10 2 /b 11 =12 2 /4=36 Ответ: 36 Задача 2. b 1 =b 4 /q 3 =64/8=8, S=(2 6 -1)/(2-1)*8=504 Ответ: 504

РЕШЕНИЕ Задача 1. b 7 =b 8 /q=1 Ответ: 1 Задача 2. b 4 /b 1 =b 1 q 3 /b 1 =q 3 =4; b 10 /b 4 =b 1 q 9 /(b 1 q 3 )=q 6 =16 Ответ: 16

РЕШЕНИЕ Задача 1. q=b 35 /b 34 =36/35 Ответ: 36/35 Задача 2. b11/b10=q, b10/b8=q2 (b10/b8)/(b10/b8)=q=5 Ответ: 5

РЕШЕНИЕ Задача 1. b 9 /b 3 =(b 1 q 8 )/(b 1 q 2 )=q 6 =-3/9 Ответ: -3/9 Задача 2.b 37 /b 35 =q 2 =16q=+-4 Ответ: ±4

РЕШЕНИЕ Задача 1. b 10 /b 13 =8=1/q 3 q=1/2 Ответ: ½ Задача 2. (b 3 +b 8 )/(b 2 +b 7 )=(q(b 2 +b 1 ))/(b 2 +b 7 )=q=13 Ответ: 13

Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества. Роджер Бэкон