«Повторение испытаний»

План I.Формула Бернулли II.Локальная теорема Лапласа III.Интегральная теорема Лапласа IV.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Стоит задача, вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится (n – k) раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторялось ровно k раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим P n (k) (#P 5 (3)). Задачу можно решить с помощью формулы Бернулли I.

Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно сложно, т.к. формула требует выполнения действий над громадными числами. (# P 50 (30))

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико. II.

Th: Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P n (k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

- локальная функция Лапласа Функция φ(x) четная, т.е. φ(-x) = φ(x)

#. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2. n = 400 k = 104 p = 0,2, q = 0,8

III. Интегральная теорема Лапласа Th: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P n (k 1, k 2 ) того, что событие А, появится в n испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу.

При решении задач пользуются специальной таблицей. Таблица для интеграла для х < 0 пользуемся той же таблицей, т.к. Ф(х) нечетная, т.е. Ф(- х) = - Ф(х). В таблице приведены значения до x = 5 для х > 5 можно принять Ф(х) = 0,5 Ф(х) – функция Лапласа.

Итак, вероятность того, что событие А появиться в независимых испытаниях от k 1 до k 2 раз,

# Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз. p = 0,75, q = 0,25 n = 100 k 1 = 70, k 2 = 80

IV. Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от постоянной вероятности p по абсолютной величине не превышает заданного числа E > 0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства |m/n – p| E

Эту вероятность будем обозначать так: Итак, вероятность осуществления неравенства |m/n – p| E приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа 2Ф(х) при

# Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний р = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсциссе величине не более чем на 0,001

# Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.