8.4. Следствия из преобразований Лоренца 1. Одновременность событий в СТО По Ньютону, если два события происходят одновременно, то это будет одновременно для любой системы отсчета (время абсолютно). Эйнштейн задумался, как доказать одновременность? Возьмем два источника света на Земле А и В:

Рисунок 8.4 Если свет встретится на середине АВ, то вспышки для человека находящегося на Земле, будут одновременны. Но со стороны пролетающих мимо космонавтов со скоростью вспышки не будут казаться одновременными, т.к.

Рассмотрим это более подробно. Пусть в системе k (на Земле) в точках x 1 и x 2 происходят одновременно два события в момент времени Будут ли эти события одновременны в k' (в пролетающей мимо ракете)? Для определения координат в k' воспользуемся преобразованиями Лоренца (8.4.1)

(8.4.2) В соответствии с преобразованиями Лоренца для времени в системе k' получим: (8.4.3) (8.4.4)

События будут абсолютно одновременны в системах k и k', если они происходят в один и тот же момент времени в одном и том же месте Если же в системе k то из (8.4.1) и (8.4.2) видно, что и в k': тогда из (8.4.3) и (8.4.4) видно, что события не одновременны, т.е. Определим интервал времени между событиями в k':

(8.4.5) Разница во времени будет зависеть от и она может отличаться по знаку (ракета подлетает с той или другой стороны).. Интервал времени между событиями в k':

2. Лоренцево сокращение длины (длина тел в разных системах отсчета) Пусть – собственная длина тела в системе, относительно которого тело неподвижно (например: в ракете движущейся со скоростью мимо неподвижной системы отсчета k (Земля)).

Рисунок 8.5 Измерение координат x 1 и x 2 производим одновременно в системе и, т.е

Используя преобразования Лоренца, для координат получим: т.е. или (8.4.6)

Формула называется Лоренцевым сокращением длины. Собственная длина тела, есть максимальная длина. Длина движущегося тела короче, чем покоящегося. Причем, сокращается только проекция на ось x, т.е. размер тела вдоль направления движения.

3. Замедление времени (длительность событий в разных системах отсчета) Пусть вспышка лампы на ракете длится где - собственное время, измеренное наблюдателем, движущимся вместе с часами. Чему равна длительность вспышки с точки зрения человека находящегося на Земле, мимо которого пролетает ракета? Так как тогда из преобразова- ний Лоренца:

или (8.4.7) Из этого уравнения следует, что собственное время – минимально (движущиеся часы идут медленнее покоящихся). Таким образом, вспышка на Земле будет казаться длиннее. Этот вывод имеет множество экспериментальных подтверждений.

Так, нестабильные элементарные частицы – пионы, рождающиеся в верхних слоях атмосферы, на высоте 20 – 30 км, при воздействии на нее космических лучей, имеют собственное время жизни За это время они могут пройти путь Но, в результате того, что они двигаются с очень большими скоростями, сравнимыми со скоростью света, их время жизни увеличивается и они до своего распада способны достичь поверхности Земли. Отсюда следует вывод, что у движущихся пионов секунды «длиннее» земных секунд.

В 60 – 70 гг. замедление времени наблюдалось не только с помощью нестабильных микрочастиц, но и проводились прямые измерения с использованием высокоточных часов, основанных на эффекте Мёссбауэра. Двое таких часов показывают одно и то же время с точностью до 10 –16 с. В 1971 г. Хафель и Китинг осуществили прямое измерение замедления времени, отправив два экземпляра атомных часов в кругосветное путешествие на реактивном самолете. Потом их показания сравнили с показаниями таких же часов, оставленных на Земле, в лаборатории ВМС США. Время запаздывания составило –9 с, что в пределах ошибок согласуется с теорией.

4. Сложение скоростей в релятивистской механике Пусть тело внутри космического корабля движется со скоростью и сам корабль движется с такой же скоростью Чему равна скорость тела относительно Земли? Используем для рассмотрения примера рисунок 8.2.

Классическая механика ответит на этот вопрос просто: в соответствии с преобразованиями Гали- лея, скорость тела относительно Земли будет: что, конечно же противоречит положению СТО о том, что скорость света является предельной скоростью переноса информации, вещества и взаимодействий:

Оценим скорость тела, используя преобразования Лоренца. Внутри корабля перемещение dx' за время dt' равно Найдем dx и dt с точки зрения наблюдателя на Земле, исходя из преобразований Лоренца: dy = dy'; dz = dz'; (8.4.8) (8.4.9)

Так как то: (8.4.10) Эта формула выражает правило сложения скоростей в релятивистской кинематике.

Подсчитаем скорость тела в нашем примере в соответствии полученной формулой: Полученный результат не противоречит положению СТО о предельности скорости света.

При медленных движениях, когда получаем нерелятивистские формулы, соответствующие преобразованиям Галилея. (Проверить самостоятельно) Если движение происходит со скоростью света, то (8.4.11)

Полученные формулы сложения скоростей запрещают движение со скоростью больше скорости света. Уравнения Лоренца преобразуют время и пространство так, что свет распространяется с одинаковой скоростью с точки зрения всех наблюдателей, независимо, двигаются они или покоятся.

Если то

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением скорости по закону (8.4.12) где m 0 – масса покоя материальной точки, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка находится в покое, с – скорость света в вакууме. Масса m часто называется релятивистской массой.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной ИСО к другой ИСО, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона оказывается инвариантен относительно преобразований Лоренца, если в нем использовать выражение (8.4.12) для релятивистской массы. m m0m0