Расчет надежности систем. Расчет надежности восстанавливаемых объектов Лекция 6

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 2 Основные особенности восстанавливаемых систем 1) Большое число состояний 2) наличие последействия отказов элементов 3) зависимость показателей надежности от большого числа факторов (интенсивности восстановления, дисциплины обслуживания) Следствие: расчет надежности восстанавли- ваемых систем – более сложная задача, чем расчет надежности невосстанавливаемых систем

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 3 Определение интенсивности восстановления Интенсивность восстановления обратно пропорциональна времени восстановления. Время восстановления для ВС определяется: 1) временем восстановления аппаратуры; 2) временем восстановления информации. Время восстановления аппаратуры определяется: 1)временем обнаружения отказа системами контроля; 2)временем локализации отказа системами диагностирования; 3)временем ремонта.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 4 Дисциплины обслуживания восстанавливаемых систем Под дисциплиной обслуживания понимается порядок восстановления отказавших элементов при кратных отказах. Виды дисциплин обслуживания (приоритетов): 1) Прямой приоритет – при отказе нескольких элементов первым восстанавливается первый отказавший элемент; 2) Обратный приоритет – при отказе нескольких элементов первым восстанавливается последний отказавший элемент; 3) Назначенный приоритет; 4) Неограниченное восстановление – каждый из элементов системы обладает своим ремонтным органом.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 5 Метод расчета надежности восстанавливаемых систем Восстанавливаемую систему целесообразно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО), в которой поток заявок на обслуживание представляет собой поток отказов. Каналами обслуживания являются ремонтные органы, восстанавливающие работоспособность. Будем считать, что справедливо экспоненциальное распределение наработки между отказами иеление времени восстановления В этом случае для анализа надёжности восстанавливаемой системы при ординарных независимых отказах можно использовать теорию марковских случайных процессов и метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова).

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 6 Метод расчета надежности восстанавливаемых систем При использовании метода для системы S необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S 1, S 2, …, S n, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов. Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения: - отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа); - отсутствуют ограничения на число восстановлений; - если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S 1, S 2, …, S n.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 7 Основные правила составления модели: 1.Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа: а) кружки (вершины графа S 1, S 2, …, S n ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов; б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S i в другое S j. Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 8 Примеры графа: S0 – работоспособное состояние; S1 – состояние отказа.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 9 «Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие: - исправное состояние продолжается; - состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем). Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S 1, S 2, …, S n. Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний. 2. Для описания случайного процесса перехода из состояния в состояние (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний P 1 (t), P 2 (t), …, P i (t), …, P n (t), где P i (t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е. P i (t) = P{S(t) = S i }.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 10 Очевидно, что для любого t (нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S 1, S 2, …, S n нет). 3. По графу состояний составляется система обыкно- венных дифференциальных уравнений первого поряд- ка (уравнений Колмогорова), имеющих вид:

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 11 Правило составления уравнений: а) в левой части – производная по времени t от P i (t); б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 12 Правило составления уравнений: в) каждый член правой части равен произведению интенсив- ности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка; г) знак произведения положителен, если стрелка входит (на- правлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него. Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений. 4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P 1 (t), P i (t), …, P n (t) необходимо задать начальное значение вероятностей P 1 (0), P i (0), …, P n (0), при t = = 0, сумма которых равна 1. Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то P i (0) = 1, а остальные вероятности равны нулю.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 13 Связь логической схемы надежности с графом состояний Переход от логической схемы к графу состояний необходим: 1) при смене методов расчета надежности и сравнении результатов; 2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой. Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливае- мых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ). Для восстанавливаемых систем в графах состояний добав- ляются обратные стрелки, соответствующие интенсивнос- тям восстановлений.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция – работоспособное состояние элемента 0 – неработоспособное состояние элемента

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 15 Нерезервированная восстанавливаемая система, состоящая из одного элемента. Система находится под действием пуассоновского потока отказов с интенсивностью. После отказа система начинает немедленно восстанавливаться (ремонтироваться). Поток восстановлений - пуассоновский с интенсивностью. В любой момент времени система может находиться в одном из двух состояний: S 0 - состояние работоспособности, S 1 - состояние отказа (ремонта), P 0 (t), P 1 (t) - вероятности нахождения системы в состояниях S 0, S 1 соответственно

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 16 Граф состояний S0S0 S1S1 Требуется определить функцию готовности К г (t) и функцию простоя К п (t) нерезервированной восстанавливаемой системы. Функция готовности определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t, совпадает с вероятностью работоспособного состояния, т.е. К г (t) = Р 0 (t) Функция простоя совпадает с вероятностью отказа, т.е. К п (t) = Р 1 (t)

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 17 Система дифференциальных уравнений Колмогорова при t = 0 система находилась в работоспособном состоянии, т.е. Для любого момента времени t имеем Решив систему, определяем характеристики надежности:

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 18 При длительной эксплуатации, т.е. при t имеем: где К г - коэфициент готовности системы, К п - коэфициент простоя системы.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 19 Восстанавливаемая система, состоящая из одного основного и n-1 резервных элементов Резервные элементы находятся в нагруженном режиме. Отказавшие элементы образуют очередь на ремонт, который осуществляется одной бригадой с интенсивностью. Интенсивность отказа любого элемента равна. Введём в рассмотрение состояния S 0, S 1, … S n, : S 0 - работоспособны все n элементов, S 1 - отказал один элемент, остальные работоспособны, S 2 - отказали два элемента, остальные работоспособны, S i - отказали i элементов, остальные работоспособны, ……………………………………………………. S n - отказала вся система, т.е. отказали все n элементов.

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 20 Граф состояний S0S0 SnSn SiSi S2S2 S1S1 n (n - 1) (n - 2) (n i ) (n - i ) Система дифференциальных уравнений Колмогорова в установившемся режиме …

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 21 Вероятности состояний Коэффициент простоя К п = Р n Коэффициент готовности К г = 1 - К п

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 22 Приближенные методы анализа надежности В большинстве практических случаев расчет надежности сложных систем с помощью точных аналитических методов невозможен в связи со следующими особенностями решаемых задач: Большая размерность систем уравнений Сложность структурной схемы (схемы расчета надежности) системы Большие погрешности показателей надежности элементов сложной системы

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 23 Приближенный метод расчета надежности восстанавливаемых систем Допущения: 1)Время восстановления намного меньше времени безотказной работы 2)Интенсивности отказов и интенсивности восстановлений – постоянные величины 3)Отказы и восстановления отдельных подсистем – независимые случайные события

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 24 Приближенный метод расчета надежности восстанавливаемых систем Обозначения: - интенсивность отказов последовательной (параллельной) группы из n (m) подсистем К Г – коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы из n (m) подсистем - интенсивность восстановлений последовательной (параллельной) группы из n (m) подсистем Те же переменные с индексами обозначают соответствующие показатели отдельных подсистем

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 25 Последовательное соединение Параллельное соединение При неограниченном восстановлении В случае одной ремонтной бригады

СевНТУ, кафедра КиВТ, курс "НКДиЭЭВМ", 2007, лекция 6 26 Скользящее резервирование При неограниченном восстановлении В случае одной ремонтной бригады r - минимально необходимое число работоспособных подсистем К Гп – коэффициент готовности подсистемы Интенсивность отказов численно равна параметру потока отказов