Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно y

§ 11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной – уравнение, которое можно записать в виде y = f(x,y). В общем случае ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x, y, y ) = 0. Если из уравнения F(x, y, y ) = 0 нельзя выразить y, то уравне- ние называют не разрешенным относительно производной.

1. Уравнения, разрешаемые относительно y неоднозначно Пусть F(x, y, y ) = 0 таково, что его можно разрешить относи- тельно y неоднозначно. Т.е. уравнение F(x, y, y ) = 0 эквивалентно k различным уравнениям y = f 1 (x,y), y = f 2 (x,y), y = f 3 (x,y), …, y = f k (x,y).(15) Предположим, что для каждого из уравнений (15) найден общий интеграл: Φ 1 (x, y, C) = 0, Φ 2 (x, y, C) = 0, …., Φ k (x, y, C) = 0.(16) Совокупность общих интегралов (16) называется общим интегралом уравнения разрешаемого относительно y не- однозначно.

Замечания. 1) Совокупность (16) можно записать в виде Φ 1 (x, y, C) Φ 2 (x, y, C) …. Φ k (x, y, C) = 0. 2) Если уравнение F(x, y, y ) = 0 разрешается относительно y неоднозначно, то через каждую точку M 0 (x 0,y 0 ) области, в которой рассматривается уравнение, будет проходить в общем случае k интегральных кривых. Однако условие единственности для этой точки будет считаться нарушенным только в том случае, когда хотя бы две кривые в точке M 0 будут иметь общую касательную. ПРИМЕР 1. Найти общий интеграл уравнения (y ) 2 – 4 x 2 = 0. Найти решение, удовлетворяющее условию а) y(1) = 1, б) y(0) = 0.

2. Неполные уравнения а) Уравнения, содержащее только производную Пусть ДУ имеет вид F(y ) = 0. Тогда y не должна зависеть от x и y, т.е. быть постоянной. Пусть y = k i удовлетворяет уравнению F(y ) = 0. Тогдаy = k i x + C, Общий интеграл уравнения будет иметь вид

б) Уравнения, не содержащие искомой функции Пусть ДУ имеет видF(x, y ) = 0,(17) Возможны 2 случая: 1) (17) разрешимо относительно y неоднозначно – см. пункт 1; 2)(17) неразрешимо относительно y, но допускает параметри- ческое представление, т.е. может быть заменено двумя урав- нениями видаx = (t), y = (t). Тогда решения уравнения (17) могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем: dy = y dx, x = (t) dx = dt, dy = (t) dt,

Таким образом, интегральные кривые уравнения (17) имеют параметрические уравнения: (18) Замечания. 1)Общий интеграл уравнения (17) получается исключением параметра t из системы (18) (если это возможно). 2) Если уравнение (17) можно разрешить относительно x, т.е. записать в виде x = (y ), то в качестве параметра удобно брать t = y. Тогда общий интеграл уравнения (в параметрическом виде):

в) Уравнения, не содержащие независимой переменной Пусть ДУ имеет видF(y, y ) = 0,(19) Возможны 2 случая: 1) (19) разрешимо относительно y неоднозначно – см. пункт 1; 2)(19) неразрешимо относительно y, но допускает параметри- ческое представление, т.е. может быть заменено двумя урав- нениями видаy = (t), y = (t). Тогда решения уравнения (19) могут быть найдены в параметрическом виде. Имеем: y = (t) dy = dt, dy = dt, y = (t)

Таким образом, интегральные кривые уравнения (19) имеют параметрические уравнения: (20) Замечания. 1)Общий интеграл уравнения (19) получается исключением параметра t из системы (20) (если это возможно). 2) Если уравнение (19) можно разрешить относительно y, т.е. записать в виде y = (y ), то в качестве параметра удобно брать t = y. Тогда общий интеграл уравнения (в параметрическом виде):

3. Уравнение Лагранжа Уравнение F(x, y, y ) = 0 называется уравнением Лагранжа, если оно является линейным относительно x и y, т.е. имеет вид:F 1 (y ) x + F 2 (y ) y = G(y ). Так как F 2 (y ) 0 (иначе это будет неполное уравнение), то уравнение Лагранжа можно записать в виде y = x (y ) + (y ).(21) Общее решение уравнения Лагранжа можно найти в параметрическом виде. Если (y ) y, то общее решение уравнения (21) будет иметь вид:

4. Уравнение Клеро Пусть в уравнении Лагранжа (y ) y. В этом случае, уравнение (21) называют уравнением Клеро. Уравнение F(x, y, y ) = 0 называется уравнением Клеро, если оно может быть записано в виде y = x y + (y ).(22) Общее решение уравнения Клеро имеет вид: y = x C + (C). Кроме того, если (t) const, то уравнение Клеро имеет особое решение