DSP Лекция 3 Digital Signal Processing

DSP Дискретные сигналы и системы Дискретизация сигналов с непрерывным временемДискретизация сигналов с непрерывным временем – дискретизация аналоговых видеосигналов; – теорема отсчетов; – дискретизация радиосигналов; Частотно – временная деформация дискретного сигналаЧастотно – временная деформация дискретного сигнала – уменьшение частоты дискретизации (децимация, прореживание); – увеличение частоты дискретизации (интерполяция).

DSP Дискретные сигналы и системы Дискретизация сигналов с непрерывным временем Рассмотрим аналоговый сигнал x(t), имеющий спектр – преобразование Фурье (НВПФ) X(j ): Говорят, что последовательность x(n) со значениями х(п) = x(nT) = x(t) t=nT получена из x(t ) периодической дискретизацией, а Т называется периодом дискретизации. Величина, обратная Т, называется частотой дискретизации F д =1/T или скоростью дискретизации. Чтобы определить, в каком смысле х(п) представляет исходный сигнал x(t), удобно связать X(j )- преобразование Фурье аналогового сигнала x(t) с X(e j T )- преобразованием Фурье последовательности х(п). (1.22) (1.23)

DSP Дискретные сигналы и системы Для последовательности х(п) пару ДВПФ запишем в виде: Идеализированную процедуру периодической дискретизации аналогового сигнала x(t) представим в виде импульсного сигнала непрерывного времени x д (t): который содержит только отсчеты х(п) = x(nT). Преобразование Фурье X д (j ) сигнала x д (t) равно и, очевидно, совпадает с ДВПФ X(e j T ) последовательности х(п). (1.24) (1.25)

DSP Дискретные сигналы и системы Поэтому X(e j T ) можно выразить в виде свертки преобразований Фурье сомножителей x(t) и, образующих x д (t). Учитывая, что преобразование Фурье сигнала есть периодическая с периодом д =2 T последовательность дельта-функций частоты, равная свертка примет вид:

DSP Дискретные сигналы и системы Из соотношения (1.27) следует, что ДВПФ последовательности х(п) представляет собой периодически с периодом д размноженное по оси частот преобразование Фурье (НВПФ) сигнала непрерывного времени x(t). Графическое отображение спектров сигналов представлено на рис.1. Если спектр X(j ) аналогового сигнала имеет ограниченную локализацию по оси частот, например, в диапазоне частот ( в =2 F в - верхняя частота спектра), как это представлено на рис.1.а, то спектр X(e j T ) дискретизованного сигнала, полученного при выполнении условия в 2F в ), будет иметь вид, представленный на рис.1в, когда соседние спектральные полосы не перекрываются. Если период дискретизации выбран слишком большим, таким, что в > / T (F д

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок. 1. a) Аналоговый сигнал и преобразование Фурье аналогового сигнала б) последовательность дельта импульсов, использованных для дискретизации и ее спектр в) дискретный сигнал, полученный при периодической дискретизации, и его преобразование Фурье; г) период дискретизации мал настолько, что периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала не перекрываются; д) период дискретизации велик, и поэтому периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала перекрываются; а) б) в) г) д) осциллограммыспектры

DSP Дискретные сигналы и системы Из рис.1в,г и соотношения (1.27) видно, что при частоте дискретизации, по крайней мере, вдвое большей верхней частоты спектра X(j ) ( ), справедливо соотношение т.е. спектр X(e j T ) совпадает со спектром X(j ) и, следовательно, по дискретной последовательности х(п) можно восстановить исходный аналоговый сигнал x(t). Это утверждение составляет содержание так называемой теоремы отсчетов (в отечественной литературе часто именуемой теоремой Котельникова). Общепринятая формулировка теоремы отсчетов такова: произвольный сигнал непрерывного времени, спектр которого не содержит частот выше Fв Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчеты этого сигнала, взятые через равные промежутки времени T, удовлетворяющие соотношению. (1.28)

DSP Дискретные сигналы и системы Сделаем замечание относительно выбора шкалы частот при спектральных представлениях дискретных последовательностей. В соотношениях (1.24) и (1.25), соответствующих паре ДВПФ, мы использовали аналоговые частоты, измеряемые в радианах/секунду. Аналоговые частоты F, измеряемые в герцах (1/c), определяются как F=. В соотношениях для ДВПФ использованы цифровые частоты = = F д, измеряемые в радианах, которые можно трактовать как аналоговые, нормированные к частоте дискретизации. В дальнейшем мы в основном будем использовать именно цифровые частоты вместе с цифровыми безразмерными частотами f = F/F д. Переход от цифровых частот к аналоговым осуществляется умножением на частоту дискретизации. (1.19) (1.20)

DSP Дискретные сигналы и системы Найдем интерполяционную формулу для восстановления x(t) по x(n). Учитывая соотношения (1.22), (1.25) и (1.28) получим Представление аналогового сигнала в виде (1.29) справедливо только для функций с ограниченным спектром при достаточно малом T, т. е. отсутствии эффекта наложения. Если в > / T (F д

DSP Дискретные сигналы и системы Техническая реализация операции восстановления аналогового сигнала по его отсчетам может быть выполнена пропусканием импульсного сигнала x д (t) через идеальный фильтр нижних частот, пропускающий без искажений полосу частот (Рис.2) ФНЧ x д (t) x(t) Рисунок 2.

DSP При дискретизации аналоговых видеосигналов с неограниченным спектром X(j ) 0, в, можно уменьшить влияние эффекта наложения спектров, если аналоговый сигнал перед подачей на устройство дискретизации (АЦП) пропустить через фильтр нижних частот (ФНЧ) с целью ограничения его спектра диапазоном частот < / T.(Рис.3) При этом останутся лишь искажения, связанные с отбрасыванием хвостов спектра.(Рис.4). Эта процедура низкочастотной фильтрации целесообразна и в случае, когда дискретизуемый сигнал смешан с широкополосной помехой, с тем, чтобы после дискретизации не ухудшалось отношение сигнал/помеха вследствие эффекта наложения.(Рис.5) Дискретные сигналы и системы ФНЧ T x(t) Рисунок 3.

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 5. Рисунок 4.

DSP Дискретные сигналы и системы Рассмотрим особо дискретизацию во времени аналоговых радиосигналов, которые могут быть представлены в виде x(t)=a(t)cos[ 0 t+ (t)] и спектр которых локализован в полосе частот в окрестности средней частоты 0.(Рис.6) Таким образом представляются, например, сигналы, получаемые при модуляции гармонического колебания с частотой 0 по амплитуде и (или) углу (частоте, фазе) некоторым низкочастотным сигналом. Рисунок 6. X(j ) 0 0

DSP Дискретные сигналы и системы Покажем, что узкополосные радиосигналы можно дискретизовать, образуя отсчеты с периодом, где - ширина спектра радиосигнала. Для этого запишем x(t) в виде где - комплексная огибающая радиосигнала. Поскольку, следовательно,

DSP Дискретные сигналы и системы На рис.7 графически отображены спектр X(j ) сигнала x(t) и спектр Z(j ) комплексной огибающей z(t). Рисунок 7.

DSP Дискретные сигналы и системы Итак, при известной частоте 0 дискретизация узкополосного сигнала эквивалентна процессу образования выборок его комплексной огибающей с периодом, по которым этот сигнал может быть восстановлен без искажений. Заметим, что выборки комплексной огибающей, т.е. комплексная последовательность z(n) = z(t) t=nT = z(nT) = a c (nT) + j a s (nT) есть совокупность действительных последовательностей a c (n) = a c (t) t=nT =a c (nT) и a s (n) = a s (t) t=nT = a s (nT). Поэтому при дискретизации радиосигнала x(t) можно предварительно выделить из него низкочастотные сигналы a c (t) и a s (t), например, с помощью двухканальной схемы, представленной на рис.8, и называемой блоком квадратурного разложения, с последующей их периодической дискретизацией. Каждый из каналов схемы состоит из перемножителя входного сигнала x(t) с опорным – гармоническим колебанием с частотой 0 и фильтра нижних частот Ф с полосой пропускания 0 - /2, причем опорные колебания каналов сдвинуты по фазе на /2.

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 8. Блок квадратурного разложения аналогового радиосигнала. T a c (nT) T a s (nT) ac(t)ac(t) as(t)as(t)

DSP Дискретные сигналы и системы Частотно-временные деформации дискретного сигнала Для сигнала непрерывного времени свойство частотно- временной деформации состоит в следующем. Если спектр (преобразование Фурье) сигнала x(t) равен X(j ), то для сигнала x(Mt) спектр изменяется к виду (1/M)X(j /M). Другими словами, растяжение сигнала во времени (M 1) растягивает его спектр по оси частот, что также сопровождается соответствующим масштабированием спектров. Аналогичные свойства имеют место и для дискретного сигнала x(n), полученного в результате периодической (с периодом Т ) дискретизации сигнала x(t). При этом сжатие и растяжение (удлинение) дискретного сигнала эквивалентны соответственно уменьшению либо увеличению частоты дискретизации F д =1/Т.

DSP Дискретные сигналы и системы Уменьшение частоты дискретизации в целое число М раз. Эта процедура называется также прореживанием или децимацией дискретного сигнала x(n). При этом новый дискретный сигнал x d (n), получается прореживанием исходного, т.е. сохранением лишь каждого М -го отсчета сигнала x(n): x d (n)= x(Mn). Такой сигнал может быть получен в результате периодической (с периодом Т 1 =МТ ) дискретизации сигнала x(t), т.е. с частотой дискретизации F д1 =F д /M. На рис. 9 представлено условное графическое отображение прореживателя в М раз. Рисунок 9. M M x(n)x(nM)

DSP Дискретные сигналы и системы Перепишем соотношение (1.27), связывающее спектры дискретного сигнала x(n) и сигнала непрерывного времени x(t), в виде: На рис.10 на основе (1.30) представлены графически спектры дискретных сигналов x(n) и x d (n) для М=2. Чтобы гарантировать отсутствие эффекта наложения в связи с расширением спектра в М раз при прореживании дискретного сигнала, необходимо перед прореживанием пропустить его через дискретный фильтр нижних частот (ДФНЧ) с полосой пропускания. (1.30) Рисунок 10.

DSP Дискретные сигналы и системы Таким образом совокупность каскадно включенных ДФНЧ с полосой пропускания и прореживателя в М раз выполнит операцию уменьшения частоты дискретизации в М раз без эффекта наложения. Такую систему (рис.11) называют компрессором частоты дискретизации. Рисунок 11.

DSP Дискретные сигналы и системы Увеличение частоты дискретизации в целое число L раз. Эту процедуру называют интерполяцией или восстановлением отсутствующих отсчетов дискретного сигнала. Для интерполяции дискретного сигнала x(n) его сначала удлиняют в L раз путем вставления между каждыми двумя соседними отсчетами L –1 нулевых отсчетов. Такой сигнал x уд (n) можно записать в виде Следовательно, спектр сигнала x уд (n) примет форму: Из (1.31) следует вывод о том, что при описанной выше операции удлинения дискретного сигнала, спектр сигнала x уд (n) сжимается по оси частот в L раз в сравнении со спектром исходного сигнала, а период повторения будет равен 2 /L. Если затем пропустить x уд (n) через идеальный ДФНЧ с полосой пропускания и усилением L, то лишние спектральные полосы будут удалены, а выходной сигнал фильтра будет точно соответствовать дискретному сигналу x ин (n) с периодом дискретизации T/L, т.е. частота дискретизации его увеличится в L раз, а нужные отсчеты будут восстановлены. (1.31)

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 12. а) исходный сигнал и его спектр; б) сигнал, удлиненный добавлением нулевых отсчетов и его спектр; в) интерполиррованный сигнал на выходе ДФНЧ и его спектр. а) б) в)

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 13. структура интерполятора (экспандера частоты дискретизации), увеличивающего частоту дискретизации в L раз.

DSP Дискретные сигналы и системы Если необходимо изменить частоту дискретизации исходного дискретного сигнала в L/M (рациональное число) раз, то такая операция может быть выполнена каскадным соединением интерполятора в L раз и дециматора в M раз, как это представлено на рис.14. Два последовательно включенных дискретных фильтра нижних частот ДФНЧ1 и ДФНЧ2 могут быть заменены одним с меньшей частотой среза. Рисунок 14.

DSP Дискретные сигналы и системы Примеры применения дециматоров и интерполяторов Рассмотрим примеры применения дециматоров и интерполяторов в цифровой аудиотехнике. При преобразовании в цифровую форму аналогового музыкального сигнала полагают, что полоса его соответствует интервалу частот 0 f 22кГц и минимальная частота дискретизации равна 44кГц. Перед дискретизацией необходима аналоговая низкочастотная фильтрация (ФНЧ) для исключения эффекта наложения и внеполосного шума. При этом ФНЧ должен иметь высокую равномерность частотной характеристики в полосе пропускания и узкую переходную полосу от полосы пропускания к полосе задерживания. Такие фильтры, как правило, имеют очень нелинейную фазо-частотную (ФЧХ) характеристику к края полосы пропускания (у частоты 22кГц ), что считается недопустимым для высококачественного воспроизведения музыки. Распространенный способ решения этой проблемы состоит в повышении вдвое (иногда вчетверо) частоты дискретизации. При этом аналоговый ФНЧ может иметь более широкую переходную полосу в интервале частот 22кГц – 44кГц и нелинейность ФЧХ оказывается приемлемо малой.

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 15. а) спектр аналогового сигнала; б) требуемая амплитудно-частотная характеристика ФНЧ при частоте дискретизации 44кГц; в) требуемая амплитудно-частотная характеристика ФНЧ при частоте дискретизации 88кГц.

DSP Дискретные сигналы и системы Полученный на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) цифровой сигнал с частотой дискретизации 88кГц далее обрабатывается цифровым ФНЧ (ЦФНЧ) с требуемой крутизной переходной полосы и прореживается вдвое для получения нужного сигнала с частотой дискретизации 44кГц, как это представлено на рис.16. Заметим здесь, что реализация ЦФНЧ с линейной ФЧХ, как это будет показано в дальнейшем при рассмотрении характеристик цифровых фильтров, не вызывает принципиальных затруднений. Для этой цели используются КИХ-фильтры с симметричной импульсной характеристикой. Рисунок 16.

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 17. Аналогичная проблема возникает в ступени цифро- аналогового преобразования, когда цифровой музыкальный сигнал должен быть преобразован в аналоговый путем обработки в ФНЧ. Для этой цели нужен аналоговый ФНЧ с частотой среза 22кГц и узкой переходной полосой и, следовательно, он будет иметь сильно нелинейную ФЧХ, что недопустимо. Для решения этой проблемы используют интерполятор, повышающий частоту дискретизации цифрового сигнала вдвое, после чего такой сигнал преобразуется в аналоговый в ЦАП с аналоговым ФНЧ, переходная полоса которого может быть в интервале частот 22кГц – 44кГц, а нелинейность ФЧХ будет приемлемо малой. Блок-схема такой обработки представлена на рис.17.