{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый и второй – бесконечно малые величины и их свойства - сравнение бесконечно малых величин - теоремы о бесконечно малых величинах – примеры }

Пусть – произвольное множество и пусть каждому поставлен в соответствие некоторый элемент. Тогда говорят, что задана последовательность которая обозначается также символами Число называется пределом последовательности, если для Пример

Теорема Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно. Последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если так что Тогда для Пусть последовательность сходится и. Пусть Очевидно, что Доказательство

Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями Свойства пределов (связанные с арифметическими операциями) Последовательность называется бесконечно малой, если Последовательность называется бесконечно большой, если Если то

Ряд сходится John Napier (1550 – 1617) e иногда называют неперовым числом или числом Эйлера Leonhard Euler (1707 – 1783)

Доказательство Теорема

Число e - иррациональное Допустим e – число рациональное, тогда Согласно предположению q!e – целое число. Тогда число q!(e-s q ) тоже целое. Так как q >= 1, то выходит существует целое число между нулем и единицей ! Мы добились противоречия.

Определение (по Коши) Постоянное число A называется пределом функции f(x) в точке x 0 ( при x стремящемся к x 0 ) если для произвольного числа > 0 найдется число ( ) > 0 такое, что из условия | x – x 0 | < ( x не равно x 0 ) вытекает неравенство | f(x) – A | 0, в процессе изменения переменной наступит момент, начиная с которого будет постоянно выполняться неравенство | u |

Доказать, что предел Требуется доказать | a x – 1 | < при | x | < ( ) логарифмируем последние неравенства по основанию a ( a > 1 )

Теорема 1. Алгебраическая сумма любого определенного числа бесконечно малых является величиной бесконечно малой. Теорема 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину является величиной бесконечно малой. Доказательство Пусть – бмв, a u – ограниченная переменная величина. что и доказывает теорему. Следствия: Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a ( ) если

Теорема 1. (прямая) Если переменная величина u стремится к пределу a, то разность между нею и ее пределом есть величина бесконечно малая. Теорема 2. (обратная) Если переменная величина u равна сумме некоторой постоянной величины A и величины бесконечно малой, то эта постоянная есть предел переменной. Пример: Доказательство Пусть a = lim u. Это значит, что при всяком, будет справедливо неравенство | u - a | < при достаточном продолжении изменения u. Но тогда величина u – a есть величина бесконечно малая.

Переменная величина может иметь только один предел. Переменная величина, имеющая предел, является величиной ограниченной. Предел алгебраической суммы любого числа переменных равен алгебраической сумме их пределов. Предел произведения любого определенного числа переменных равен произведению их пределов. Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента она принимает значение того знака, каков знак ее предела. Если предел переменной величины отличен от нуля, то величина ей обратная, является ограниченной величиной. Предел частного двух переменных равен частному от деления их пределов, если предел делителя отличен от нуля.

Теорема 1. Всякая монотонно изменяющаяся и ограниченная в направлении своего изменения величина имеет предел. Доказательство ведется на основе теоремы Дедекинда. Теорема 2. Если числовые значения переменной величины v постоянно заключены между соответствующими числовыми значениями двух других переменных u и w и эти последние стремятся к одному и тому же пределу a, то к этому же пределу a стремится и переменная v. v x y 0 A u w

Функция при имеет предел, равный 1 : 1 C B 0 Рассмотрим единичную окружность. A D Сравнивая площади треугольника OAC, сектора OBC и треугольника OBD, получаем Неопределенность y x y x

Найти предел

Функция при имеет предел, равный e : Пусть Величину x заключим между n и n+1 По второй теореме (признак существовании пределов): При доказывается то-же самое. Неопределенность

Найти предел

Если предел отношения двух бесконечно малых есть число, отличное от нуля то и называются бесконечно малыми одного порядка малости.. Пример: Если предел отношения двух бесконечно малых и равен нулю то называются бесконечно малой более высокого порядка малости, чем. sin 2x и 7x - бесконечно малые одного порядка малости Пример: 1-cosx - бесконечно малая более высокого порядка, чем x..

Пример: Если предел отношения двух бесконечно малых и не существует (ни конечный, ни бесконечный), и называются несравнимыми бесконечно малыми. Пример: tg x - бесконечно малая более низкого порядка, чем x 2. Если отношения двух бесконечно малых и является величиной бесконечно большой, то называется бесконечно малой более низкого порядка малости, чем. = sin x. sin (1/x) и = x - несравнимые бесконечно малые. y x

Если предел отношения двух бесконечно малых и равно 1, то и называется равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми. Символическое обозначение: ~ Две бесконечно малые и, равносильные порознь третей бесконечно малой, равносильны между собой. V Разность двух равносильных бесконечно малых – является бмв более высокого порядка малости, чем каждая из них. Lim ( ) / = 0, Lim ( ) / = 0 Если разность двух бесконечно малых – есть бмв высшего порядка по сравнению с одной из них, то они равносильны. Lim ( ) / = 0. Предел отношения двух бесконечно малых сохраняет свое значение при замене этих бесконечно малых им равносильными. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков равносильна слагаемому низшего порядка малости (если оно единственно).

Найти предел