1 Модель брюсселятора Разработана как одна из моделей реакции Белоусова- Жаботинского для описания эффектов, возникающие в химических реакторах. Является одной из самых известных моделей, разработанной еще на ранних стадия изучения реакции. Название связано с ее разработкой брюссельской научной школой И. Пригожина. Модель призвана описать распределение реагентов по пространству и их изменение со временем. При исследовании этой модели выяснены свойства диссипативных структур во многих нелинейных системах, в том числе не имеющих отношения к химии. Дисциплина: Синергетика для инженеров Преподаватель: профессор каф. общей физики Н.Н. Никитенков

2 Схема открытой химической системы (химический реактор).

В соответствии с законом действующих масс, если смешать два химически реагирующих вещества, Х и Y, то получится вещество Z (Х + Y Z). Скорость изменения концентрации вещества Z пропорциональна произведению концентраций веществ X и Y, с коэффициентом пропорциональности, называемом «постоянная реакции k». Обозначая через X, Y концентрации исходных веществ, через Z продукт их реакции, можно записать: 3 То есть, для того чтобы реакция шла, молекулы X должны сталкиваться с молекулами Y. Вероятность таких столкновений пропорциональна числу молекул X и Y в единице объема (т.е. их концентрациям ).

Постоянная реакции k зависит от размеров молекул, их внутренних степеней свободы, скоростей и т.д. Если в реакции молекулы Х числом п взаимодействуют с одной молекулой Y, то изменение концентрации вещества Z пропорционально XnY. Пусть в некотором химическом реакторе превращения идут по следующей схеме: 4 Пусть концентрации веществ А и В в реакторе поддерживаются постоянными, а вещества D и Е каким-то образом из реактора удаляются, то есть, в объеме реактора происходит непрерывный обмен веществом (система является открытой). Пусть скорости обратных реакций много меньше скоростей прямых реакций, условно: (k –1, k –2, k –3, k –4 )

Множители, учитывают диффузию реагентов и, концентрации которых в разных точках реактора вследствие диффузии могут быть различными (D 1, D 2 – соответствующие коэффициенты диффузии). Перейдем к другой системе единиц, сделав следующую замену переменных следующим образом: 5 тогда легко записать систему уравнений в частных производных, которую, собственно и называют моделью брюсселятора: Что является управляющими параметрами данной системы ??

Поскольку вещества X и Y остаются в реакторе, требуется выполнение следующих краевых условий: X x (0,t)=X x (l,t)=0,Y x (0,t)=Y x (l,t)=0, l – характерный размер реактора. Поведение решений У полученной системы можно выявить простые решения, например стационарные и однородные по пространству. Для этого все производные нужно положить равными нулю, тогда получим систему обычных алгебраических уравнений: А–(B+1)X+X 2 Y=0, BX–X 2 Y=0. Единственное решение полученной системы алгебраических уравнений: Х=А, Y=B/А. Данное решение играет особую роль. Рассмотрим, например, как меняется поведение решения, если менять концентрацию вещества B и начальные распределения концентраций X(х,0), Y(x,0). 6

Если концентрация вещества B невелика, то независимо от начальных условий через определенное время установятся концентрации Х(x,t)=A, Y(x,t)=B/A. Такое решение (устойчивое стационарное), на которое независимо от начальных условий выходят изучаемые распределения параметров при небольших внешних воздействиях есть у многих нелинейных систем получило название термодинамической ветви. Если зафиксировать начальные концентрации Х(х, 0), Y(х, 0) и увеличивать значение B, то начиная с некоторого критического значения B 0 происходит выход на немонотонные стационарные распределения концентраций, например такие, как показаны на следующем слайде. 7

8 Стационарные диссипативные структуры, возникающие в модели брюсселятора. Параметры нелинейной среды: А=2; B=4,6; D 1 =1,6·10 –3 ; D 2 =8,0·10 –3. Распределение концентрации X. Два различных типа структур, возможных в одной и той же нелинейной среде при задании различных начальных данных. Параметры нелинейной среды: A=2; B = 4,6; D 1 = 1,6·10 –3 ; D 2 = 8,0·10 –3.

Неожиданность полученного результата: Распределение реагирующих веществ по горизонтали неоднородно (хотя сила тяжести направлена по вертикали) – то есть в среде могут возникать пространственные структуры путем сосредоточения одних реагентов в одних частях реактора, других – в других. В связи с этим встает множество вопросов, например: – как отражаются на структурах константы реакций? – какая концентрация веществ является оптимальной для образования структур? Ответы на эти вопросы важны для многих задач химической технологии. Возвращаясь к модели брюсселятора, заметим, что стационарное решение Х=А, Y=B/A удовлетворяет краевой задаче при любых B. Следовательно, при B>В 0 появляется несколько стационарных решений, то есть, происходит ветвление решений – бифуркация. 9

До сих пор для анализа решений фиксировались начальные концентрации и изменялось значение В. Теперь зафиксируем какое-нибудь значение В>В 0 и будем менять профили начальных концентраций X(х,0), Y(x,0). При некоторых значениях B можно наблюдать следующий эффект: при одних начальных данных имеет место выход на одно стационарное решение, при других – на другое. Два стационарных решения, возможных при одних и тех же параметрах среды но разных начальных данных, показаны на предыдущем слайде снизу: выход на одно и то же стационарное решение происходит с целого класса начальных концентраций, то есть так же, как в модели тепловых структур (лекция 5) имеет место «забывание» начальных данных. 10

Если решение Х=А, Y=В/А получено точно, то оно меняться не будет. Однако расчеты на ЭВМ дают другую картину: даже очень малые отклонения, которые, всегда имеют место, быстро нарастают, и далее происходит выход на один из неоднородных устойчивых стационаров. Такие отклонения – флуктуации – всегда есть в физических, химических и биологических системах. Расчеты на ЭВМ показывают, что флуктуации, в отличие от равновесных процессов, изучаемых классической термодинамикой, определяют всю дальнейшую судьбу нелинейной (открытой, диссипативной) системы. 11

Если поставить шарик на вершину горба, в точку О, то в соответствии с законами механики он может оставаться на вершине (это соответствует стационарному решению уравнений, описывающих движение шарика), но флуктуации выведут его из равновесия и он начнет двигаться. Постепенно из-за трения энергия шарика будет уменьшаться, и, в конце концов, он остановится на дне желоба в точке М или N. В какой именно точке он окажется, зависит от знака флуктуации, которая вывела шарик из равновесия. Роль точки О у нас играла термодинамическая ветвь, роль равновесных положений М и N – стационарные устойчивые решения, такие, как показаны на слайде 8. Можно сказать, что причиной возникновения структур являются внутренние свойства системы, а поводом – вносимые флуктуации. 12 Иллюстрация роли флуктуаций: флуктуация выводит шарик из неустойчивого равновесия (точка O) в устойчивое состояние равновесия (точки M или N).

Такое поведение характерно для многих нелинейных неравновесных систем. Флуктуации можно учесть, добавив в правую часть уравнения системы «брюсселятор» (слайд 5) случайные функции. Они могут отражать процессы, в детали которых сейчас вникать не будем. 13 Возможный вид случайной функции F(t).

В необходимости учитывать флуктуации, которые, нарастая, могут изменить основные характеристики процессов, кроется одно из важных отличий сложных систем от простых (нелинейных от линейных). Даже слабое воздействие на нелинейную систему в окрестности B 0 может определить ее дальнейшую судьбу, в то время как вдали от В 0 влияние этого воздействия не ощущается. Здесь имеет место резонансное возбуждение – воздействие, согласованное с внутренними свойствами нелинейной системы и сильно влияющее на нее. 14