К более точному вычислению трех- и четырёх-частичных фазово-пространственных интегралов Абстракт Представлены интегральные формы для вычисления трех- и четырех- частичных фазово-пространственных интегралов. Получены нерелятивистские и ультрарелятивистские пределы. Полученные формулы позволяют более быстро и точно вычислять соответствующие интегралы. ИИ

1 Введение Для всесторонних исследований различных аспектов множественного рождения в ядерных столкновения при высоких энергиях требуется вычисление фазово-пространственных интегралов. Например, распределение энергий и импульсов частиц в конечном состоянии, разделение динамических и кинематических особенностей процесса, соотношение между поперечным и продольным импульсами частиц и т. д. Некоторое количество различных Монте Карло методов используется для вычисления фазово-пространственных интегралов, но времена их счета, как правило, велики. Наиболее популярный метод предложен G.H. Campbell, J.V. Lepore and R.J. Riddell. Evalution of Phase-Space Integrals. J. of Mathematical Physics, 8, (1967) Он состоит в следующем. Решаем уравнение для параметра, где и есть модифицированные функции Бесселя первого и второго типа, Е есть полная энергия, n число частиц, m есть масса частицы. Затем фазово- пространственный интеграл вычисляется по формуле:

Наш интерес к более точным вычислениям фазово-пространственных интегралов был стимулирован серьезными расхождениями между схемой Campbell и аппроксимациями для нерелятивистского предела : и ультрарелятивистского предела :

2 Трехмерный фазово-пространственный интеграл В канонических формулах для фазово-пространственного обьема где есть импульсы частиц и мы перейдем к безразмерным переменным Если выбрать ось совпадающую с получим:

где. После интегрирования по угловым переменным получаем: Для новых переменных мы находим границы интегрирования решением уравнения в аргументе дельта функции Дирака для :

Для фазово-пространственного интеграла получим: И окончательно получим: где. Такая интегральная форма весьма удобна для численных расчетов с произвольно заданной точности, а также не содержит сингулярностей. На Рис. 3 мы можем сравнить точные расчеты по данной формуле и по Campbell схеме.

Нерелятивистский предел фазово-пространственного интеграла соответствует пределу Мы раскладываем подинтегральное выражение в ряд Тейлора по членам и после интегрирования получаем асимптотическое разложение: или Ультрарелятивистский предел фазово-пространственного интеграла соответствует пределу. После замеы переменных в (12 ) мы разложим подинтегральное выражение в ряд Тейлора по членам. Только для первых двух членов ряда интеграл сходится и расходится для всех остальных. Поэтому мы выбираем следующую форму для ультрарелятивистского предела фазово-пространственного интеграла

Результаты фитирования данных на интервале (0., 0.1) таковы: a 0 = ; a 1 = ; a 2 = a 3 =

2 Фазово-пространственный интеграл четырех частиц Четырехчастичный фазово-пространственный интеграл может быть представлен через двухчастичные фазово-пространственный интегралы: является не стандартным двухчастичным фазово-пространственным интегралом: а является двухчастичным фазово-пространственным интегралом вне центра масс:

где есть импульс системы двух частиц. Подставив (19) в (17) и введя новую переменную,, а также учитывая кинематические ограничения получим: На Рис. 4 сравниваются результаты расчетов по схеме [1] с (20). Как видим данные по схеме Campbell превышают точные значения.

Нерелятивистскому пределу фазово-пространственного интеграла соответствует пределу Перейдем к новым переменным и где. Далее мы разложим в ряд Тейлора по членам и проведем интегрирование по и. Полученный ряд по легко преобразуется в ряд по : где значения коэффициентов приведены в Таблице.

Для получения ультрарелятивистского предела вводим новую переменную Очевидно, ультрарелятивистскому пределу соответствует. Мы разлагаем подинтегральное выражение по членам : После интегрирования получаем:

Следующие члены чрезвычайно громоздки. Для оценки точности аппроксимации мы численно вычисляли интеграл (20) без множителя с высокой точностью. На Рис. 5 можно видеть поведение относительной ошибки.

Поведение фазово-пространственного интеграла и аппроксимаций на интервале мы можем видеть на Рис. 6

Для улучшения точности проведено фитирование следующей формулы с параметрами : где значения параметров таковы: 4 Заключение Необходимо отметить, что предложенная схема позволяет вычислять фазово-пространственные интегралы более быстро и более точно для систем трех и четырех частиц. Если нет необходимости в высокой точности можно ограничиться нерелятивистским и ультрарелятивистским аппроксимациями. Это позволит существенно уменьшить время счета. Методология развитая в данной работе позволяет построить вычислительную процедуру для пяти и более частиц.