Автор: Яковлева Екатерина

Об авторе Ученица 8 «А» средней школы 427. Яковлева Екатерина Александровна Дата рождения года. Проект по Теории вероятности на тему: «Вероятности случайных событий». Создан года.

Содержание 1.Случайное события 2.События и множества 3.Случайный эксперимент 4.Противоположные события 5.Несовместимые и совместимые события 6.Пересечение событий 7.Геометрические вероятности 8.Вероятность суммы совместимых событий 9.Условные вероятности 10.Произведение событий 11.Вероятность произведения зависимых событий

Случайное событие. Случайное событие подмножество исходов случайного эксперимента; при многократном повторении эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате эксперимента, называется невозможным и обозначается символом. Случайное событие, которое всегда реализуется в результате эксперимента, называется достоверным и обозначается символом Ω.

Случайный эксперимент Случайный эксперимент (случайное испытание, случайный опыт) математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям: она должна быть адекватна и адекватно описывать эксперимент она должна быть адекватна и адекватно описывать эксперимент должна быть определена совокупность множества наблюдаемых результатов в рамках рассматриваемой математической модели при строго определенных фиксированных начальных данных, описываемых в рамках математической модели. должна быть определена совокупность множества наблюдаемых результатов в рамках рассматриваемой математической модели при строго определенных фиксированных начальных данных, описываемых в рамках математической модели. должна существовать принципиальная возможность осуществления эксперимента со случайным исходом сколь угодное количество раз при неизменных входных данных (, где количество произведённых экспериментов). должна существовать принципиальная возможность осуществления эксперимента со случайным исходом сколь угодное количество раз при неизменных входных данных (, где количество произведённых экспериментов).

Противоположные события Под событием в теории вероятностей понимают любой факт, который может произойти или не произойти в результате опыта со случайным исходом. Самый простой результат такого опыта (например, появление "орла" или "решки" при бросании монеты, попадание в цель при стрельбе, появление туза при вынимании карты из колоды, случайное выпадение числа при бросании игральной кости и т.д.) называется элементарным событием. Множество всех элементарных событий Е называется пространством элементарных событий. Так, при бросании игральной кости это пространство состоит из шести элементарных событий, а при вынимании карты из колоды – из 52. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, например, появление двух тузов подряд при вынимании карты из колоды, или выпадение одного и того же числа при трёхкратном бросании игральной кости. Тогда можно определить событие как произвольное подмножество пространства элементарных событий. Множество всех элементарных событий Е называется пространством элементарных событий. Так, при бросании игральной кости это пространство состоит из шести элементарных событий, а при вынимании карты из колоды – из 52. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, например, появление двух тузов подряд при вынимании карты из колоды, или выпадение одного и того же числа при трёхкратном бросании игральной кости. Тогда можно определить событие как произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сумма событий Суммой событий А1, А2,..., Аn называется событие А = А1+А Аn, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А1, А2,..., Аn. Например, два стрелка стреляют в одну и ту же мишень по одному разу. Обозначим события: А1: "1-й стрелок попал в мишень", А2: "2-й стрелок попал в мишень". Тогда их суммой будет событие А: "Мишень поражена", то есть, либо попал только 1-й стрелок, либо только 2-й, либо попали оба.

Несовместимые и совместимые события Несовместимые события – это события, которые вместе никогда не могут появиться. Совместимые события – это события, которые могут появиться вместе. Например, при бросании игральной кости одновременно выпадение чётного числа очков и выпадение числа 5 – несовместимые события. Что же называется непосредственно вероятностью какого-либо события? Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий – элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Несовместимые события – это события, которые вместе никогда не могут появиться. Совместимые события – это события, которые могут появиться вместе. Например, при бросании игральной кости одновременно выпадение чётного числа очков и выпадение числа 5 – несовместимые события. Что же называется непосредственно вероятностью какого-либо события? Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий – элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Вероятности событий А и В будут Вероятности событий А и В будут Число исходов, благоприятных для события С = А+В равно m+k, так как они несовместимы и

Возьмем два события А и В. Предположим, что есть элементарные события, благоприятствующие и событию А, и событию В. Взяв все такие события, получим новое событие. Это новое событие называют пересечением событий. Его обозначают. Событие наступает, если наступают оба события А и В. Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными. Например, при бросании монеты событие А "появление орла" и событие В "появление решки" не могут произойти одновременно. Пересечение событий Бросают две игральные кости. Событие А на первой кости выпало меньше 3 очков. Событие В на второй кости выпало меньше 3 очков. Тогда событие заключается в том, что на каждой кости выпало меньше 3 очков. Пример

1-й куби к 2-й кубик ; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2 ; 5 2; 6 3 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Элементарные события, благоприятствующие событию А Элементарные события, благоприятствующие событию В Элементарные события, благоприятствующие обоим событиям

Геометрические вероятности Геометрические вероятности Рассмотрим такую задачу. Круглая мишень разбита на 4 сектора и вращается вокруг центра. Стрелок стреляет в мишень один раз. Какова вероятность, что он попадет в сектор ОАВ ?Здесь классическое определение не годится, так как каждое событие изображается точкой круга, а их - бесконечное множество. В этом случае вероятность попадания в сектор ОАВ будет равна отношению площади сектора ОАВ к площади всего круга. Геометрическое определение вероятности события формулируется следующим образом. Вероятностью события называется отношение меры множества благоприятных элементарных событий (исходов) к мере множества всех элементарных событий. В качестве меры, как правило, выступают длина, площадь и объем. Рассмотрим примеры на вычисление вероятностей.

Вероятность суммы совместимых событий Рассмотрим два совместимых события А и В. Пусть m - число исходов, благоприятных для события А, k -число исходов, благоприятных для события В. И пусть среди этих m+k исходов l благоприятствуют и А, и В одновременно. Если n - общее число равновозможных событий, образующих полную группу, то Событие А+В заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо А и В вместе. Ему благоприятствуют m+k-l исходов, следовательно, Событие А+В заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо А и В вместе. Ему благоприятствуют m+k-l исходов, следовательно, Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (2.5) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (2.5) Пример. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,7,вторым - 0,8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий. Решение. Пусть А: "Попадание из 1 орудия", В: "Попадание из 2 орудия", С: "Цель поражена". А и В - совместимые события, так как они могут произойти одновременно. По формуле Пример. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,7,вторым - 0,8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий. Решение. Пусть А: "Попадание из 1 орудия", В: "Попадание из 2 орудия", С: "Цель поражена". А и В - совместимые события, так как они могут произойти одновременно. По формуле P(C)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 · 0,8 = 0,94 P(C)=P(A) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7 · 0,8 = 0,94

Условные вероятности При совместном рассмотрении двух событий А и В возникает вопрос, насколько связаны эти события друг с другом. Если наступление события В влияет на вероятность события А, то события А и В называются зависимыми. Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что уже произошло событие В. Пример. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров наугад друг за другом вынимают два шара. Даны события: А: "Первый шар - белый", В: "Второй шар -белый". Найти условные вероятности При совместном рассмотрении двух событий А и В часто возникает вопрос, насколько связаны эти события друг с другом. Если наступление события В влияет на вероятность события А, то события А и В называются зависимыми. Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что уже произошло событие В. Пример. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров наугад друг за другом вынимают два шара. Даны события: А: "Первый шар - белый", В: "Второй шар -белый". Найти условные вероятности Решение. Во-первых, заметим, что : "Первый шар - черный", : "Второй шар - черный". Найдем P(B/A). Событие А уже произошло, то есть первый шар вынут и он - белый. Требуется найти вероятность того, что второй шар - белый. В урне осталось 19 шаров, из них 7 белых. Поэтому P(B/A)= 7/19. Рассуждая аналогично, находим:

Произведение событий Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое. Произведением независимых событий А и В называется событие С = А·В, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В. Рассмотрим два независимых события А и В. Пусть событию А благоприятствуют m исходов из общего числа n исходов P(A)= m / n. Событию В - соответственно k и l исходов P(B)= k / l. Тогда для события С = А·В по правилу произведения благоприятных исходов будет m · k, а общее число - n · l. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. P(AB)=P(A)·P(B) Например, вероятность выпадения двух гербов при бросании двух монет будет равна 0,5 · 0,5 = 0,25, а вероятность появления трех шестерок подряд при трех бросках игральной кости 1/6·1/6·1/6= 1/216. P(AB)=P(A)·P(B) Например, вероятность выпадения двух гербов при бросании двух монет будет равна 0,5 · 0,5 = 0,25, а вероятность появления трех шестерок подряд при трех бросках игральной кости 1/6·1/6·1/6= 1/216.

Вероятность произведения зависимых событий Пусть даны два зависимых события А и В. И из n равновозможных исходов событию А благоприятствуют m, событию В -k, событию АВ -r исходов (r m, r ). P(A)= m / n; P(B)= k / n; P(AB)= r / n. Если произошло событие А, то реализовался один из m исходов, благоприятствующих А. Вероятность того, что при этом условии произошло событие В найдется, как условная вероятность Пусть даны два зависимых события А и В. И из n равновозможных исходов событию А благоприятствуют m, событию В -k, событию АВ -r исходов (r m, r ). P(A)= m / n; P(B)= k / n; P(AB)= r / n. Если произошло событие А, то реализовался один из m исходов, благоприятствующих А. Вероятность того, что при этом условии произошло событие В найдется, как условная вероятность Отсюда P(AB)=P(A)·P(B/A). Это и есть правило умножения зависимых событий. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло. P(AB)=P(A)·P(B/A) P(AB)=P(A)·P(B/A)

Спасибо за просмотр!