Def. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел. Члены последовательности располагаются в порядке следования их номеров. Обозначение: Сходящиеся последовательности. Def. Комплексное число z называется пределом последовательности если для п.2. Последовательности комплексных чисел.

Примеры. не существует Каждый член последовательности Т.1.1. Необходимым и достаточным условием является требование сходимости

Def. Последовательностьназывается ограниченной, если Сходящаяся последовательность ограничена. Критерий Коши. Необходимым и достаточным является условием сходимости требование, чтобы для Т.1.2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Def. Если для то последовательность называется неограниченно возрастающей. Примеры. Неограниченно возрастающие последовательности.

Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к единственной бесконечно удаленной точке комплексной плоскости. Def. Комплексная плоскость дополненная бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. Def. Окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество внешность круга с центром в начале координат достаточно большого радиуса R.

§2. Понятие функции комплексной переменной. множество задания (определения) множество значений

Точки множества. Def. Точка называется внутренней точкой множестваесли Def. Множество, состоящее из внутренних точек называется открытым множеством.

Def. Множествоназывается связным, если можно соединить кусочно-гладкой кривой Def. Область открытое, связное множество. Def. Точка называется граничной точкой множестваесли в и Def. Совокупность граничных точек множества g называется границей множества g.

Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из одной точки (как, например, у множества |z|>0). Def.. Замыкание области g, состоящее в присоединении к g ее границы g называется замкнутой областью g =g+ g.

Отображение однозначно (по умолчанию). Если то отображение взаимно однозначно В этом случае g называется областью однолистности f(z), а f(z) однолистной в g. неоднозначное отображение однозначное, не однолистное отображение однозначное, однолистное отображение

При z=x+iy, w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Свойства функции комплексной переменной определяются свойствами функций двух действительных переменных. При g D в D обратная функция z= (w), осуществляющая отображение D g. Если отображение g D однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной.

Некоторые элементарные функции комплексной переменной. 1. Однозначная, однолистная на всей комплексной плоскости. Геометрический смысл: растяжение в k раз, поворот на угол, параллельный перенос вдоль вектора b. Единственное отображение, сохраняющее подобие всех фигур.

2.2. Однозначная, но не однолистная на всей комплексной плоскости. Область однолистности полуплоскость Область однолистности отображается на всю комплексную плоскость. Любая прямая, не проходящая через точку z=0 отображается в параболу. Декартова сеть линий в верхней полуплоскости отображается в 2 взаимно ортогональных семейства софокусных парабол.

Декартова сеть

Отображение декартовой сети в

Полярная сеть

Отображение полярной сети в

3.3. Две ветви: Точки ветвления, при обходе которых по любому замкнутому контуру происходит переход с одной ветви на другую На плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси Многозначная функция. каждая ветвь однозначная функция. главное значение.

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

4.4. Однозначная, однолистная на всей комплексной плоскости. Геометрический смысл: симметричное отражение относительно вещественной оси и инверсия относительно единичной окружности.

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

5.5. Однозначная, однолистная на всей комплексной плоскости. Геометрический смысл: суперпозиция функций Дробно-линейная функция

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

6. Однозначная, однолистная в любой области, где Функция Жуковского для Не однолистная. Области однолистности:

Геометрический смысл: суперпозиция функций

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

7.7. Однозначная, однолистная в любой области, где для Области однолистности: Многолистная.

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

8. Многозначная функция. Точки ветвления На плоскости с разрезом по однозначная ветвьглавное значение: т.е. определена

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

9. Однозначная, не однолистная. Область однолистности: сектор раскрыва n значная. -значная. однолистная на Главная ветвь: однолистна в секторе раскрыва

по умолчанию.

Отображение декартовой сети

10. Гиперболические функции. Многолистные.

Отображение декартовой сети в

11. Тригонометрические функции.

однолистна в полосе

Отображение декартовой сети в

Отображение полярной сети в

12. Обратные гиперболические функции. Многолистные функции. Главные значения: Точки ветвления

13. Обратные тригонометрические функции. Многолистные функции. Главные значения: Точки ветвления

Отображение полярной сети в