Глава 3 Динамика механической системы и твердого тела § 12. Некоторые виды систем Неизменяемая система Система с идеальными связями Примеры идеальных связей § 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела § 14. Принцип Даламбера для механической системы Главный вектор и главный момент сил инерции системы Приведение сил инерции твердого тела Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела § 12. Некоторые виды систем Неизменяемая система Система с идеальными связями Примеры идеальных связей § 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела § 14. Принцип Даламбера для механической системы Главный вектор и главный момент сил инерции системы Приведение сил инерции твердого тела Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела

тогда по теореме о проекциях скоростей Пусть точка В 1 движется со скоростью § 12. Некоторые виды систем Неизменяемой называют механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками во все время движения остаётся постоянным Неизменяемая система В 1 В 2 = const Рассмотрим две точки в неизменяемой системе, т.е. В2В2 В2В2 В1В1 В1В1 а точка В 2 – со скоростью F 21 F 12 α α β β т.к., то

следовательно, Сложим эти выражения, воспользовавшись свойством внутренних сил, тогда имеем и теорема об изменении кинетической энергии для такой системы будет или

12.2. Система с идеальными связями Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем Разделим все внешние и внутренние силы на активные и реакции связей, тогда Разделим все внешние и внутренние силы на активные и реакции связей, тогда и теорема об изменении кинетической энергии для такой системы запишется Т.к. силы реакции связи – постоянные, то Связи называются идеальными, если они не изменяются со временем и при элементарном перемещении системы сумма их работ равна нулю

12.3. Примеры идеальных связей 1. Движение по гладкой поверхности 3. Качение без скольжения по твердой поверхности 3. Качение без скольжения по твердой поверхности 2. Если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь 4. Качение по абсолютно твердой поверхности (без деформаций) 4. Качение по абсолютно твердой поверхности (без деформаций) и и

5. При нерастяжимых нитях и стержнях 5. При нерастяжимых нитях и стержнях 6. Шарнирно неподвижная опора, если F тр = 0 В случае системы с идеальными связями теорема об изменении кинетической энергии В случае системы с идеальными связями теорема об изменении кинетической энергии Вывод (22)

1. Если тело двигается поступательно, то дифференциальное уравнение его движения запишется как движение центра масс 1. Если тело двигается поступательно, то дифференциальное уравнение его движения запишется как движение центра масс § 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела в координатном представлении 2. Если тело двигается вращательно, то по теореме моментов а а – дифференциальное уравнение движения вращающегося тела – дифференциальное уравнение движения вращающегося тела (23) (24)

(25) 3. Если тело двигается плоско-параллельно, то положение его центра масс описывает уравнение движения центра масс системы, а уравнение для вращательного движения – его вращение относительно МЦС 3. Если тело двигается плоско-параллельно, то положение его центра масс описывает уравнение движения центра масс системы, а уравнение для вращательного движения – его вращение относительно МЦС

§ 14. Принцип Даламбера для механической системы Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить все уравнения статики Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить все уравнения статики Для каждой точки системы можем записать уравнение принципа Даламбера (26) Просуммируем по всем точкам системы

Введем обозначения главный вектор сил инерции, Так как условия равновесия механической системы главный момент сил инерции относительно центра О и и, то (27)

14.1. Главный вектор и главный момент сил инерции системы При поступательном движении (28) Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен в противоположную сторону ускорения Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен в противоположную сторону ускорения Тангенциальная и нормальная (центробежная) силы инерции Тангенциальная и нормальная (центробежная) силы инерции

По теореме об изменении кинетического момента главный момент сил инерции системы относительно центра О (29) главный момент сил инерции системы относительно оси Z

Систему сил инерции твердого тела можно заменить одной силой R ин, приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой сил с моментом, равным М О ин Приведение сил инерции твердого тела 1. Пусть механическая система движется поступательно, тогда 1. Пусть механическая система движется поступательно, тогда Все силы инерции образуют систему параллельных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр масс системы Все силы инерции образуют систему параллельных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр масс системы

2. Пусть механическая система, обладающая плоскостью симметрии ОХY, движется вращательно относительно оси ОZ, тогда результирующая сила R ин и пара сил с моментом М О ин будут лежать в плоскости ОХY здесь ε угловое ускорение системы здесь ε угловое ускорение системы

3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс системы 4. Плоско-параллельное движение Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то равнодействующая сил инерции лежит в ней и приложена к центру масс тела, а пара сил имеет момент ε угловое ускорение тела Если твердое тело совершает такое движение, то сила, т.к., следовательно, система сил инерции сводится к паре сил с моментом, равным

Свяжем с телом оси АХYZ, вращающиеся вместе с ним с постоянной угловой скоростью ω Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела Реакции, возникающие в опорах при движении тела, называются динамическими Реакции, возникающие в опорах при движении тела, называются динамическими Пусть на тело действуют заданные силы, то проекции главного вектора этих сил будут Х Х Y Y Z Z A A B B ω ω F1eF1e F1eF1e F2eF2e F2eF2e FneFne FneFne Тогда координаты центра масс и моменты инерции тела будут постоянными величинами

т.к. ω = const Главные моменты относительно тех же осей Определим динамические реакции подшипников Определим динамические реакции подшипников X A, Y A, Z A, X B, Y B Присоединим силы инерции всех частей тела, приведя их к центру А Х Х Y Y Z Z A A B B ω ω F1eF1e F1eF1e F2eF2e F2eF2e FneFne FneFne ХАХА ХАХА ХВХВ ХВХВ YАYА YАYА YBYB YBYB ZАZА ZАZА R ин Равнодействующая сила R ин и пара с моментом Проекции этого момента будут М Y ин М Х ин

Главный вектор сил инерции R ин = - ma C, где m – масса тела где h C = ОС – расстояние центра масс С от оси вращения тела Составим уравнения равновесия, полагая АВ = b Х Х Y Y Z Z A A B B ω ω F1eF1e F1eF1e F2eF2e F2eF2e FneFne FneFne ХАХА ХАХА ХВХВ ХВХВ YАYА YАYА YBYB YBYB ZАZА ZАZА R ин Центр масс С имеет только нормальное ускорение, т.к. ω = const, М Y ин М Х ин С С О О

где x C и y C – координаты центра масс С Вычислим проекции R ин и учтем, что R ин ||ОС и A A B B ω ω F1eF1e F1eF1e F2eF2e F2eF2e FneFne FneFne ХАХА ХАХА ХВХВ ХВХВ YАYА YАYА YBYB YBYB ZАZА ZАZА R ин Для нее тоже сила инерции имеет только центробежную составляющую, т.к. ω=const М Y ин М Х ин Рассмотрим какую-нибудь точку тела, чтобы определить моменты сил инерции относительно осей. Рассмотрим какую-нибудь точку тела, чтобы определить моменты сил инерции относительно осей. С С О О mkmk mkmk α α Х Х Y Y Z Z

Определим проекции Х Х Y Y Z Z A A B B ω ω F1eF1e F1eF1e F2eF2e F2eF2e FneFne FneFne ХАХА ХАХА ХВХВ ХВХВ YАYА YАYА YBYB YBYB ZАZА ZАZА R ин М Y ин М Х ин Просуммируем по всем точкам тела С С О О mkmk mkmk J xz и J yz – центробежные моменты инерции тела J xz и J yz – центробежные моменты инерции тела

Динамические реакции значительно больше статических Подставим в уравнения равновесия Х Х Y Y Z Z A A B B ω ω F1eF1e F1eF1e F2eF2e F2eF2e FneFne FneFne ХАХА ХАХА ХВХВ ХВХВ YАYА YАYА YBYB YBYB ZАZА ZАZА R ин М Y ин М Х ин Уравнения определяют динамические реакции в подшипниках С С О О mkmk mkmk Это зависит не только от ω, но и х С, у С, J xz, J yz. Если ω = 0, то получаем статические реакции Если ω = 0, то получаем статические реакции

Если х С = 0, y С = 0, J xz = 0, J yz = 0, то наличие вращения не влияет на значения реакций подшипников Любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции, прибавляя к телу две точечные массы! Любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции, прибавляя к телу две точечные массы! Получили условие динамической уравновешенности вращающегося тела относительно оси Z Динамическое уравновешивание вращающихся тел – важная техническая задача Пусть для тела массой m координаты его центра масс и центробежные моменты инерции известны и не равны нулю: х С 0, y С 0, J xz 0, J yz 0 Пусть для тела массой m координаты его центра масс и центробежные моменты инерции известны и не равны нулю: х С 0, y С 0, J xz 0, J yz 0

Тогда х С = 0, y С = 0, J xz = 0, J yz = 0 Прибавим к телу ещё две массы m 1 и m 2 в точках с координатами (х 1, у 1, z 1 ) и (х 2, у 2, z 2 ) Прибавим к телу ещё две массы m 1 и m 2 в точках с координатами (х 1, у 1, z 1 ) и (х 2, у 2, z 2 ) Найдем радиус-вектор центра масс такой системы и её центробежные моменты инерции Найдем радиус-вектор центра масс такой системы и её центробежные моменты инерции Чтобы для полученной системы ось Z стала главной центральной осью инерции, необходимо выполнение следующих условий Чтобы для полученной системы ось Z стала главной центральной осью инерции, необходимо выполнение следующих условий

Механический смысл величин и и Центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси Z Центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси Z