Потоки платежей, ренты

2 Основные определения Потоком платежей будем называть последовательность (ряд) выплат и поступлений, приуроченных к разным моментам времени. Поток платежей, все элементы которого - положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом вне зависимости от цели, назначения и происхождения этих платежей. На практике финансовые операции, как правило, предусматривают распределённые во времени выплаты и поступления денежных сумм. Финансовая рента описывается следующими параметрами: Член ренты - величина каждого отдельного платежа. Период ренты - временной интервал между платежами. Срок ренты - время от начала ренты до конца её последнего периода. Процентная ставка - это ставка, которая используется при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента.

3 Виды финансовых рент Рента называется годовой, если ее период равен одному году. Рента называется p – срочной, если ее период меньше года и количество платежей в год равно p. Эти ренты относятся к дискретным, поскольку выплаты приурочены к дискретным моментам времени. Бывают ренты непрерывные, когда поток платежей описывается непрерывной функцией. Ренты бывают постоянные и переменные. Рента называется постоянной, если все ее платежи одинаковы и не меняются во времени. Если размеры платежей зависят от времени, то это переменная рента. Рента называется ограниченной, если количество платежей конечно, в противном случае рента называется бесконечной или вечной. Ренты бывают немедленные и отложенные (отсроченные). Срок немедленных рент начинается с момента заключения контракта. Если рента отложенная, то срок начала выплат отодвигается на какое-то время. Если платежи осуществляются в конце периода, то такая рента называется обычной или постнумерандо. Если выплаты осуществляются в начале периода, то такая рента называется пренумерандо.

4 Обобщающие характеристики потоков платежей Наращенной суммой потока платежей называют сумму всех последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Современной величиной потока платежей называют сумму всех пла­тежей, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или упреждающий его.

5 Наращенная сумма годовой ренты. Рента постнумерандо S - наращенная сумма ренты; R - размер отдельного платежа; i - ставка процентов в виде десятичной дроби; n - срок ренты в годах. Сложная ставка наращения 0

6 Наращенная сумма годовой ренты. Продолжение a 1 – первый член прогрессии; q – знаменатель прогрессии.

7 Рента пренумерандо 0 Сложная ставка наращения

8 Наращенная сумма годовой ренты. Рента постнумерандо Простая ставка 0

9 Наращенная сумма годовой ренты. Рента пренумерандо Простая ставка 0

10 Наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов m раз в год Рента постнумерандо

11 Наращенная сумма годовой ренты с начислением процентов m раз в год Рента пренумерандо

12 Наращенная сумма p -срочной ренты. Рента постнумерандо Размер платежа R/р, интервал между платежами равен 1/р, количество платежей равно np.

13 Наращенная сумма p -срочной ренты. Рента пренумерандо

14 Наращенная сумма p -срочной ренты при начислении процентов m раз в год Рента постнумерандо

15 Наращенная сумма p -срочной ренты при начислении процентов m раз в год Рента пренумерандо

16 Современная величина обычной ренты. Рента постнумерандо Современная величина - это сумма всех дисконтированных членов потока платежей на начальный или предшествующий ему момент времени. Иногда вместо термина современная величина используют термины приведенная или капитализированная сумма платежей. Сложная ставка наращения

17 Современная величина обычной ренты. Рента пренумерандо Сложная ставка наращения

18 Современная величина обычной ренты. Рента постнумерандо Простая ставка наращения

19 Современная величина обычной ренты. Рента пренумерандо Простая ставка наращения

20 Современная величина годовой ренты с начислением процентов m раз в год В полученную формулу для современной величины годовой ренты вместо множителя дисконтирования подставим множитель

21 Современная величина p – срочной ренты ( m=1 ). Рента постнумерандо. Интервал между платежами у такой ренты равен 1/p, размер платежа R/p.

22 Современная величина p – срочной ренты ( m=1 ). Рента пренумерандо

23 Современная величина p – срочной ренты при начислении процентов m раз в год Рента постнумерандо Рента пренумерандо если p=m, то

24 Соотношение между наращенной и современной величинами ренты Пусть А - современная величина годовой ренты на начало срока с начислением процентов один раз в год, S - наращенная сумма этой ренты. где Покажем, что имеет место следующее соотношение Доказательство Отсюда

25 Определение параметров финансовых рент Определение размера платежа Определение срока ренты Определение ставки процентов Если задана наращенная сумма, то Если задана современная величина, то Если задана наращенная сумма, то Если задана современная величина, то Для определения ставки необходимо решить либо уравнение если известна наращенная сумма, либо уравнение если известна современная величина ренты, относительно неизвестной величины i.

26 Анализ переменных потоков платежей Пусть размер платежа зависит от времени, платежи поступают в конце года и проценты начисляются один раз в год, ставка процентов постоянна. Первый вид переменных потоков платежей – размер платежа ( t=1,2,..,n ) где S - сумма платежей с начисленными на них процентами где A - сумма дисконтированных на нулевой момент платежей где

27 Анализ переменных потоков платежей. Продолжение Второй вид переменных потоков платежей Предположим, что весь срок n разбит на k промежутков длительностью n t каждый и в каждом из этих промежутков размеры платежей R t постоянны. Проценты начисляются один раз в год. Наращенная сумма платежей первого промежутка на момент времени n 1) Определение наращенной величины где

28 Анализ переменных потоков платежей. Продолжение Наращенная сумма платежей второго промежутка на момент времени n 1 +n 2 Наращенная сумма для всего потока платежей Пусть на каждом промежутке действует своя ставка i k. Тогда наращенная сумма определяется по формуле 2) Определение современной величины Для последнего k промежутка наращенная сумма равна При переменной ставке

29 Анализ дискретного потока платежей с непрерывным начислением процентов Определение наращенной суммы Пусть платежи не зависят от времени и поступают один раз в конце периода, а проценты на них начисляются непрерывно. где Для p –срочной ренты где Современная величина дискретной ренты при непрерывном начислении процентов где

30 Анализ дискретного потока платежей с непрерывным начислением процентов. Продолжение Для p –срочной ренты где Наращенная сумма и приведенная величина переменного дискретного потока с непрерывным начислением процентов

31 Непрерывный поток платежей с дискретным начислением процентов Постоянная непрерывная рента Предполагаем, что размер годового платежа не зависит от времени и равен R. Непрерывное поступление платежей означает, что в p – срочной ренте p. Коэффициент приведения для непрерывной ренты с дискретным начислением процентов где

32 Непрерывный поток платежей с дискретным начислением процентов (продолжение) При начислении процентов m раз в год Коэффициент наращения непрерывной ренты Аналогичным образом получим

33 Непрерывный поток платежей с дискретным начислением процентов. Продолжение Непрерывные переменные потоки платежей Предположим что поток платежей непрерывный, размер платежа зависит от времени и описывается непрерывной функцией времени Начисление процентов производится тоже непрерывно.

34 Конверсии рент Простые виды конверсии 1. Выкуп ренты – замена ренты единовременным платежом. Из принципа финансовой эквивалентности следует, что при этом вместо ренты выплачивается современная ее величина. 2. Рассрочка платежей – замена единовременного платежа рентой. Сложные виды конверсии Конвертировать ренту означает изменить условия финансового соглашения, предусматривающего выплату этой ренты. К сложным конверсиям относится замена одной ренты другой, что означает изменение параметров ренты. Из условия финансовой эквивалентности следует, что при такой замене современные величины этих рент должны быть равны. Другими словами, если А1 - современная величина заменяемой ренты, А2 - современная величина заменяющей ренты на тот же момент времени, то должно соблюдаться условие: А1=А2.

35 Примеры конверсий Пусть имеется годовая немедленная рента с параметрами Эта рента заменяется на другую, у которой параметры Уравнение эквивалентности имеет вид Из этого уравнения можно определить один из параметров замещаемой ренты