«Куча» чисел (задачи из ЕГЭ 2010) Александрова Екатерина Коновалова Анастасия 11A

1) Найдем наибольшую сумму: 3*9+3*10+3*11+…+3*17+ +4*9+4*10+4*11+…+4*17+ +5*9+5*10+5*11+…+5*17+ … +8*9+8*10+8*11+…+8*17 Вынесем общие множители: 3*( …+17)+4*( …+17)+…+8*( …+17)= =( )*( )=33*117= =3861 Задача 1 Каждое из чисел 3, 4,..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10,..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Начало решения

четное числоне меняет четности суммы 2. Замена плюса на минус перед любым слагаемым (произведением двух чисел) приводит к уменьшению суммы на четное число, то есть не меняет четности суммы. Поэтому искомая сумма всегда нечетная и не может быть равной 0. Каждое из чисел 3, 4,..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10,..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Задача 1 1. Полученная сумма 3861 нечетная, значит она содержит нечетное число нечетных слагаемых Поиски пути решения 3. Наименьшим натуральным числом является 1. Если нам удастся подобрать знаки так, чтобы сумма оказалось равной 1, то она и будет наименьшей по модулю суммой произведений заданных чисел. Рациональная запись вычислений наибольшего числа поможет быстро прийти к ответу

2)Т.к. произведение ( )*( )=1*1=1 можно записать в виде -3*9+3*10-3*11+…+3*17+……+ +8*9-8*10+8*11+…-8*17 И уменьшить эту сумму нельзя, то искомая наименьшая по модулю сумма равна 1. ОТВЕТ: 1 и 3861 Каждое из чисел 3, 4,..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10,..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Задача 1 Продолжение решения

Задача 2 Перед каждым из чисел 14, 15,..., 20 и 4, 5,...,8 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 1) Наибольшая по модулю сумма равна (14 -(-4))+(14 –(-5))+(14 –(-6))+(14 –(-7))+(14 –(-8))+ +(15 –(-4))+(15 –(-5))+(15 –(-6))+…+(15 –(-8))+…+ +(20 –(-4))+(20 –(-5))+(20 –(-6))+…+(20 –(-8)) Она равна 5*( )-7*( )= =5*119+7*30=805.

Т.к. полученная сумма нечетная (805), то она содержит нечетное число нечетных слагаемых. Замена любого знака перед данными числами на противоположный не меняет четности суммы, поэтому искомая сумма нечетная при любой расстановке знаков не может быть равна 0. 2) Получить результат меньший, чем 5*( )-7*( )=5*17-7*12=1 нельзя, поэтому наименьшая по модулю сумма равна 1. ОТВЕТ: 1 и 805.

Полезные факты 1. Если сумма нечетная, то она содержит нечетное число нечетных слагаемых. Полезные советы 1. Если приходится делать громоздкие вычисления, то надо искать рациональные пути счета ( например, группировать слагаемые) четное числоне меняет четности суммы 2. Замена плюса на минус перед любым слагаемым приводит к уменьшению суммы на четное число, то есть не меняет четности суммы. привести обоснования привести пример 2. Для доказательства невозможности чего-то надо привести обоснования, а для доказательства существования чего-то надо привести пример

~ статья А.В.Шевкина "Задачи С6 из ЕГЭ 2010" с сайта Использованные ресурсы