Система строгого отбора

Теорема 1 (Интегральный критерий строго отбора). Для того чтобы система с наследованием (1) (2) являлась системой строгого отбора, необходимо и достаточно, чтобы вдоль любой фазовой траектории системы (1), соответствующей начальным условиям (2) удовлетворяющим неравенствам были справедливы равенства (3) 2 Математическое моделирование процессов отбора

Доказательство. Необходимость. Для отношения справедливы следующие (4) Если в системе (1) выполнено условие строго отбора то Перейдя к пределу в равенствах (4), получим Так как отношение не обращается в ноль, то отсюда вытекает справедливость равенств (3). Достаточность. При выполнении равенств (3) система (1), (2) по теореме 1.1 является системой нестрого отбора, при этом, если длятеореме 1.1 всех Но эти условия являются условиями строгого отбора, что то и требовалось доказать. 3 Математическое моделирование процессов отбора

Теорема 2. Для того чтобы система с наследованием (1), (2) являлась системой строгого отбора, достаточно, чтобы были справедливы неравенства: (5) вдоль любой фазовой траектории системы (1), соответствующей начальным условиям (2), удовлетворяющим неравенствам условиям (2) Доказательство. Из неравенств (5), как уже было показано в теореме 2, вытекает справедливость равенств (3), а из них по теореме 1 следует, что система (1), (2) является системой строгого отбора, что и требовалось доказать. 4 Математическое моделирование процессов отбора

Пример 1. Рассмотрим систему при когда коэффициенты функции времени: Проверим для нее выполнение условий теоремы 2: Применив правило Лопиталя, нетрудно видеть, что Аналогично используя известное значение интеграла Френеля, найдем Следовательно, и рассматриваемая система является системой как строгого, так и нестрогого отбора. 5 Математическое моделирование процессов отбора

Пример 2. Рассмотрим систему уравнений на стандартном симплексе являющуюся частным случаем модели Колмогорова(2.14). Здесь Так как и то и (6) Если то отношение в силу теоремы 2.1 удовлетворяет дифференциальному уравнениютеоремы 2.1 решая которое, имеем 6 Математическое моделирование процессов отбора

В силу (6) отношение монотонно убывает, следовательно, существует конечный предел Если то Получили противоречие. Отсюда следует, что может иметь только нулевое значение и. Так как отношение стремиться к нулю, то начиная с некоторого момента времени справедливо неравенство при некотором положительном числе. Тогда при справедливо неравенство 7 Математическое моделирование процессов отбора

Следовательно, и, так как то при имеют место равенства Проведенные рассуждения справедливы при Но поскольку то при для любого выполняется неравенство Таким образом, при можно провести все вышеизложенные рассуждения для и прийти к тому же результату. Итак, если. Следовательно, данная система является системой строгого отбора. 8 Математическое моделирование процессов отбора

9

Теорема 1.1. Для того чтобы система с наследованием (1), (2) являлась системой нестрого отбора, достаточно, чтобы нашлись номера такие, что вдоль любой фазовой траектории системы (1), соответствующей начальным условиям Удовлетворяющим неравенствам,, было справедливо условие Теорема 2.1 (Вторая теорема о представлении). Пусть система на стандартном симплексе задана через функции перехода. Тогда отношения компонент ее решения удовлетворяют уравнениям если ни в один момент времени не обращается в ноль. 10 Математическое моделирование процессов отбора