Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

Зависимость давления от высоты Атмосфера обязана своим существованием наличию одновременно теплового движения молекул и силы притяжения к Земле. При этом устанавливается распределение молекул по высоте. В соответствии с этим устанавливается и определенный закон изменения давления газа с высотой.

Зависимость давления от высоты Выделим произвольный столб воздуха и рассмотрим изменение давления с высотой.

Зависимость давления от высоты После подстановки и получим: Разделим переменные и проинтегрируем:

Зависимость давления от высоты Приходим к результату: Константу определяем из условия следовательно

Зависимость давления от высоты Окончательно Закон, устанавливающий зависимость давления от высоты, называется барометрической формулой.

Зависимость давления от высоты При выводе не учитывалась зависимость ускорения свободного падения от высоты и изменение с высотой температуры. Тем не менее барометрическая формула дает прекрасные результаты.

Распределение Больцмана В барометрической формуле представляет потенциальную энергию молекулы на высоте Таким образом барометрическая формула дает распределение молекул по потенциальным энергиям

Распределение Больцмана Поведение газа не изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать другая сила.

Распределение Максвелла. Распределение молекул по скоростям Распределение молекул по кинетическим энергиям

Элементы теории вероятностей Вероятностью события называют предел, к которому стремится отношение числа опытов, приводящих к этому событию, к общему числу опытов при стремлении

Элементы теории вероятностей Среднее значение любой величины может быть найдено с помощью вероятности появления различных результатов измерения

Элементы теории вероятностей В случае непрерывного ряда значений величины можно говорить только о вероятности нахождения этой величины в интервале : Функция называется функцией распределения.

Элементы теории вероятностей Среднее значение величины в случае непрерывного спектра значений определяется

Распределение молекул по компонентам скорости Распределение Максвелла дает распределение частиц по скоростям и компонентам скоростей. Вероятность того, что компонента скорости некоторой молекулы имеет значение в пределах от до может быть представлена в виде

Распределение молекул по компонентам скорости Соответственно для других компонент скорости

Распределение молекул по компонентам скорости Вероятность одновременного наблюдения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Распределение молекул по компонентам скорости Для функций распределения были получены выражения:

Распределение молекул по компонентам скорости Следовательно, вероятность того, что молекулы газа обладают скоростями, составляющие которых по осям координат лежат в интервалах между и равна

Распределение молекул по компонентам скорости Количество молекул из числа находящихся в единице объема газа с компонентами скорости, попадающими в заданные интервалы, определится следующим образом

Распределение молекул по компонентам скорости Перейдем в пространство скоростей, тогда где Полученное выражение не зависит от направления скорости

Распределение молекул по значениям скоростей Найдем функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления. В интервал попадут молекулы, находящиеся в шаровом слое объемом

Распределение молекул по значениям скоростей или

Распределение молекул по значениям скоростей Функция распределения молекул по скоростям – закон Максвелла имеет вид:

Распределение Максвелла Функция распределения молекул по компоненте скорости имеет вид

Распределение Максвелла Функция распределения молекул по значениям скорости имеет вид

Распределение по кинетическим энергиям Исходя из распределения молекул по скоростям, можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения, переходя от к.

Распределение по кинетическим энергиям Функция распределения молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения имеет вид:

Скорости молекул Распределение Максвелла дает возможность рассчитать среднюю, среднеквадратичную и наиболее вероятную скорости молекул