Статистическое моделирование факторных планов Лекция 5

Вопросы для обсуждения 1.Статистическое описание межгруппового факторного эксперимента 2.Двухфакторный дисперсионный анализ 3.Структурные модели двухфакторного дисперсионного анализа

ВОПРОС 1 Факторный экспериментальный план…

Факторный план Факторными называют планы, в которых исследуется влияние двух и более независимых переменных на одну зависимую переменную. Число экспериментальных условий, исследуемых в полных факторных планах, равно произведению всех уровней всех независимых переменных Факторные планы могут быть межгрупповыми, внутригрупповыми и смешанными. В данной теме мы рассмотрим лишь внутригрупповой план.

Межгрупповой план При межгрупповом плане каждому испытуемому предъявляется единственное сочетание уровней всех переменных Таким образом, в межгрупповых факторных планах число групп испытуемых, необходимых для эксперимента, равно произведению числа всех уровней всех независимых переменных (факторов). Например, если используется двухфакторный план 2х2, то для проведения эксперимента потребуется 4 группы испытуемых, каждая из которых будет иметь дело лишь с одним сочетанием факторов.

Пример: межгрупповой план 2х2 Уровни факторов А1А1 А2А2 Среднее B1B1 AB 11 AB 21 AB.1 B2B2 AB 12 AB 22 AB.2 Среднее AB 1. AB 2.AB..

Пример: межгрупповой план pхq Уровни факторов А1А1 … АiАi … АpАp Среднее B1B1 AB 11 … AB 21 … AB p1 AB.1 … ……………… BjBj AB 1j … AB 22 … AB pj AB.j ……………… BqBq AB 1q … AB iq … AB pq AB.q Среднее AB 1. … AB j. … Ab p. AB..

Двухфакторный план Двухфакторный план позволяет исследовать три эффекта: два основных эффекта факторов и их взаимодействие. Кроме того, в двухфакторном межгрупповом плане присутствует эффект статистической (экспериментальной) ошибки, который определяет внутригрупповые различия между испытуемыми.

Основные эффекты ФакторыЭффектДисперсия A B

Взаимодействие Взаимодействие AB Дисперсия

Экспериментальная ошибка Внутри группы Дисперсия внутри группы Дисперсия по всем группам

ВОПРОС 2 Двухфакторный дисперсионный анализ

Анализ дисперсии Общая дисперсия Между группами Фактор AФактор B Взаимодействие AB Внутри групп

Средние квадраты: основные эффекты

Средние квадраты: взаимодействие

Средний квадрат: внутри групп

Построение F-отношения Построение F-отношения определяется выбранной структурной моделью и зависит от того, каким образом трактуются независимые переменные (факторы) – как случайные или как фиксированные. Всего возможные три структурные модели в зависимости от случайности или фиксированности факторов A и B.

Модели ANOVA для двух факторов A фиксированA случаен B фиксированФиксированная модельСмешанная модель B случаенСмешанная модельСлучайная модель

ВОПРОС 3 Структурные модели…

Структурная модель

Соглашение Будем обозначать большой буквой – число уровней фактора в генеральной совокупности, а маленькой – в выборке. Например, Q – число уровней фактора B в генеральной совокупности, т.е. предельно возможное число уровней этого фактора, q – число уровней фактора B, исследуемое в эксперименте.

Ожидаемые эффекты

Факторы ФиксированныеСлучайные

Отсюда… MS Фиксированная модель Смешенная модель Случайная модель В данном случае смешанная модель подразумевает случайность фактора A и фиксированность фактора B

F-отношение Фиксированная модель Все эффекты (средние квадраты) оцениваются относительно внутригрупповой дисперсии Смешанная модель Эффект случайного фактора оценивается относительно его взаимодействия с фиксированным фактором Эффект фиксированного фактора и взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии Случайная модель Основные эффекты оцениваются относительно их взаимодействия Взаимодействие оценивается относительно внутригрупповой дисперсии

Многофакторные модели В случае многофакторных экспериментов построить правильное F-отношение в ряде случае оказывается возможным лишь для полностью фиксированной модели. Например, теоретически невозможно построить верное F-отношение для трехфакторной модели дисперсионного анализа, если все переменные являются случайными. В последнем случае для оценки статистических эффектов может использоваться статистика квази-F.

Квази-F Число степеней свободы для данной статистики может быть определено по специальным формулам