Графические методы решений уравнений с модулем и параметром Бойцов Михаил

Цели работы: Научиться решать задачи чтобы поступить в МИЭТ Помочь сверстникам с решением задач типа ЕГЭ Развить математическое мышление

Тема, по которой я хочу представить проект, является наиболее актуальной для доклада, поскольку в ней затрагиваются современные проблемы, знакомые каждому выпускнику – а именно решение задач Единого Государственного Экзамена. При подготовке данного материала я прочитал большое количество тематических книг по решению уравнений с модулем и параметром, в которых описывались различные методы их решений (аналитический, графический, метод симметрии). В ходе своих исследований я понял, что графический метод их решения является наиболее наглядным и понятным, поэтому я решил приступить к практической части моего доклада. Выполняя практическую часть моей работы, я решал многочисленные уравнения с модулем и параметром, что дало определённый результат – я научился быстро решать различные уравнения типа ЕГЭ. Работа, которую я хочу представить, является полезной как для выпускников, так и для всех интересующихся математикой людей, поэтому область её применения может быть очень обширна.

Одним из главных методов решения задач с параметрами будет обращение к наглядно-графическим интерпретациям. В зависимости от того, какая роль параметру отведена в задаче, можно соответственно выделить два основных графических приёма: первый – построение графика на координатной плоскости (x;y), второй – на (x;a). Первому из перечисленных методов я посвящаю свою работу. Схематично опишу его структуру. На плоскости (x;y) функция y=f(x;a) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра a. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т.д.) можно перейти от одной прямой к какой-нибудь другой. Разумеется, не всегда графический образ семейства y=f(x;a) описывается простым преобразованием. Графический метод – всего лишь одно из средств наглядности. Поэтому те случаи, когда результат «прочитан» с рисунка и вызывает сомнение, лучше подкрепить аналитически. В своей работе я не преследую цель сформировать основы графической культуры, иными словами, научить строить графики функций или уравнений, но хочу обратить внимание на построение графиков y=f(x+a), y=f(x)+a, y=f(|x|), y=|f(x)|, y=f(kx), y=kf(x), путём преобразования графика y=f(x).

Первый пример, который я хочу показать в своей работе: 1). В зависимости от значений параметра a определить количество решений системы: Решение. С геометрической точки зрения количество решений системы – это количество точек пересечения кривых, заданных уравнениями системы при каждом фиксированном значении параметра a. Первое уравнения задаёт квадрат, а второе – семейство кривых радиуса a с центром в начале координат, причём a>0, т.к. при а=0 окружность превращается в точу. Тогда очевидно, что при, т.е. при, квадрат имеет с окружностью четыре общие точки (окружность будет являться вписанной в него). При квадрат также имеет с единичной окружностью четыре общие точки (окружность является описанной около него). При 0,5 1 решений не будет, т.к. в первом случае окружность будет внутри квадрата и не будет его касаться, а во втором – вне квадрата и не будет его касаться. Ответ: при а = 0,5 и а = 1, 4 решения; при 0,5 < а < 1, 8 решений; при а 1, решений нет.

Аналогичные примеры со стационарной окружностью и квадратом, меняющим размер в зависимости от параметра, я приведу ниже: 2). Определить в зависимости от значений параметра a количество решений систем уравнений: Решение. Из первого уравнения системы следует, что при система не имеет решений, т.к. левая часть неотрицательна. Уравнение задаёт окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Очевидно, что если квадрат |x| + |y| = a находится в центре окружности, то система не имеет решений Решение появится тогда, когда квадрат окажется вписанным в окружность. В этом случае a = 2, решений будет 4. Далее при 2 < a < 22 каждая сторона имеет 2 общие точки с окружностью, а значит, система будет иметь 8 решений. При a = 22 окружность квадрат окажется описанным около окружности и решений будет 4. Ответ: при a =2 и a = 22, 4 решения; при 2 < a < 22, 8 решений; при a 22, нет решений.

3). Найти все значения параметра a, при которых система уравнений имеет четыре и только четыре различных решения. Решение. Если (x;y) – решение системы, то (-x;-y), (-x;y), (x;-y) также являются решениями системы. Поэтому достаточно найти решение только для x0 и y0, т.е. в первой четверти. Построим множества точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям системы. Первому уравнению удовлетворяют точки сторон квадрата ABCD, а второму – точки окружности с центром в точке начала координат и радиусом. Заметим, что из вида системы следует положительность параметра, a >0. Задача имеет четыре и только четыре решения только в двух случаях: 1). Радиус, т.е. a = 1; 2)., т.е. a = (K – точка касания окружности и стороны AB квадрата). Ответ: 1 и.

На этом примере я хочу остановиться и показать вам его решение. 4). Найти все значения a, при каждом из которых уравнение |2x – a| + 1 = |x + 3| имеет ровно один корень. Решение. Рассмотрим графики функций f(x) = |x + 3| и g(x) = 2|x - |. Графики этих функций имеют единственную общую точку только в двух случаях. При = -2 или при = -4 Значит, a = -4 или a = -8. Ответ: -4 и -8.

5). Найти все значения a, при каждом из которых решения неравенства |2x – a| |x + 3| – 1 образуют отрезок длины 1 Решение. Постоим схематично график функции y = |2x - a| и y = |x + 3| На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при -4 и при -2 1). Решения образуют отрезок длины 1, если 2). Решения образуют отрезок длины 1, если Ответ: и.

Также у меня есть аналогичный пример для отработки навыков решения таких неравенств. 6). Найти все значения a, при каждом из которых решения неравенства |3x - a| + 2 |x - 4| образуют отрезок длины 1 Решение. Перенесём двойку: |3x - a| |x – 4| - 2 и построим схематично графики функций y = |3x - a| и y = |x – 4| - 2. На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при или 1). Решения образуют отрезок длины 1, если,откуда a = 2. 2). Решения образуют отрезок длины 1, если,откуда a = 22. Ответ: a = 2, a = 22.

7). Найдите все значения a, при каждом из которых данное уравнение ||x - 1| - 2| = 2 + |3x – a| имеет единственное решение. Решение. Перенесём двойку: ||x - 1| - 2| - 2 = |3x – a| Построим два графика: один - стационарный, другой - плавающий по оси абсцисс в одной координатной плоскости. y = ||x - 1| - 2| - 2 и g = 3|x – | График функции y = ||x - 1| - 2| - 2 получим путём преобразования графика: y 1 = |x – 1| y 2 = |x – 1| - 2 y 3 = ||x – 1| - 2| y 4 =||x – 1| - 2| - 2 Ответ: a = -9, a = 3, a = 15.

8). При каких значениях параметров a и b уравнение |x + a 2 | = |b-2| - |x + 2| имеет единственное решение? Решение. Построим графики функций y 1 = |x + a 2 | и y 2 = |b - 2| - |x + 2| Уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда A=B, т.е. b = 2 и -2 = a 2, a = ±2 Ответ: a = ±2, b = 2.

Подводя итог, я хочу сказать, что, несмотря на мои возможные неточности в формулировке математических предложений и моё волнение во время выступления, прошу заранее не судить меня строго, поскольку это только начало моей практической деятельности, которую я планирую продолжить, учась в вашем институте, где хочу получить более обширные знания в различных областях науки, в том числе и в математической.