Лекция 8 Анализ временных рядов Спектральный анализ (разложение в ряд Фурье, периодограмма)

Случайная функция Это функция неслучайного аргумента, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной Случайный процесс Неслучайный аргумент t-время

Статистические характеристики случайной функции (изучает корреляционная теория) 1. Математическое ожидание - неслучайная функция - при каждом значении t = мат. ожиданию сечения. 2. Дисперсия - неслучайная функция, состоит из дисперсий сечений. 3. Корреляционная функция (автокорреляция) равна коэффициенту корреляции между двумя сечениями..

Стационарный случайный процесс 1.Математическое ожидание постоянно (стационарность в широком смысле). 2. Автокорреляционная функция зависит только от разности аргумента. В.Е. Гмурман. Теория вер. и мат. статистика. Стр

Анализ временных рядов Временной ряд - реализация (траектория, выборочная функция) случайной функции. временным рядом называют последовательность наблюдений, упорядоченных по времени Аргумент (t) дискретно меняется через равные промежутки.

Временной ряд Реализация случайного процесса - неслучайная функция аргумента t (времени) - результат экспериментов (опытов). Временной ряд (случайная последовательность) Аргумент (t) дискретно меняется через равные промежутки.

Визуализация временного ряда месячные международные авиаперевозки (в тысячах) в течение 12 лет. (Бокс и Дженкинс, 1976, стр. 531)

Модель временного ряда Y(t) = f(t)+g(t)+ (t) случайная составляющая периодическая (сезонная) составляющая тренд

Анализ тренда Не существует "автоматического" способа обнаружения тренда в временном ряде. Два распространенных способа: 1) если тренд монотонный (возрастает или убывает), то используется регрессионный анализ; 2) если большая ошибка (разброс в значениях), то сначала делают сглаживание (окнами), потом регрессионный анализ.

Анализ периодической (сезонной) составляющей 1. Анализ автокорреляций (процесс авторегрессии и скользящего среднего АРПСС - модель не известна. Прогноз по предыдущим значениям с осреднением) 2. Анализ Фурье. Периодограмма. Отличие от АРПСС и экспоненциального сглаживания - периоды заранее неизвестны.

Анализ Фурье модель

Оценки коэффициентов по МНК

Оценки коэффициентов по МНК (продолжение)

Модель с амплитудой и фазой

Периодограмма или линейчатый спектр Фурье Интенсивность k-той гармоники

Оценка дисперсии величины x(t i )

1. Выделение значимых гармоник по критерию Фишера

Выделение значимых гармоник по вкладу доминирующих гармоник в дисперсию

Модель после выделения гармоник

Алгоритм расчета коэффициентов разложения в ряд Фурье

Литература