Курс лекций по теоретической механике Динамика (I часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 3. Лекция 3 Прямолинейные колебания материальной точки. Условие возникновения колебаний. Классификация колебаний. Свободные колебания без учета сил сопротивления. Затухающие колебания. Декремент колебаний.

Лекция 3 Прямолинейные колебания материальной точки – Колебательное движение материальной точки происходит при условии: имеется восстанавливающая сила, стремящая вернуть точку в положение равновесия при любом отклонении ее из этого положения. 9 Восстанавливающая сила есть, положение равновесия устойчивое Восстанавливающей силы нет, положение равновесия неустойчивое Восстанавливающей силы нет, положение равновесия безразличное Восстанавливающая сила есть, положение равновесия устойчивое Необходим анализ Сила упругости пружины – пример линейной восстанавливающей силы. Направлена всегда к положению равновесия, величина прямо пропорциональна линейному удлинению (укорочению) пружины, равному отклонению тела от положения равновесия: с – коэффициент жесткости пружины, численно равный силе, под действием которой пружина изменяет свою длину на единицу, измеряется в Н/м в системе СИ. x y O Виды колебаний материальной точки: 1. Свободные колебания (без учета сопротивления среды). 2. Свободные колебания с учетом сопротивления среды (затухающие колебания). 3. Вынужденные колебания. 4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды. Свободные колебания – происходят под действием только восстанавливающей силы. Запишем основной закон динамики: Выберем систему координат с центром в положении равновесия (точке O) и спроецируем уравнение на ось x : Приведем полученное уравнение к стандартному (каноническому) виду : Данное уравнение является однородным линейным дифференциальным уравнением II порядка, вид решения которого определяется корнями характеристического уравнения, получаемое с помощью универсальной подстановки: Корни характеристического уравнения мнимые и равные: Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: Скорость точки: Начальные условия: Определим постоянные: Итак, уравнение свободных колебаний имеет вид: Уравнение можно представить одночленным выражением: где a – амплитуда, - начальная фаза. Новые константы a и - связаны с постоянными C 1 и C 2 соотношениями: Определим a и : x 0 =asin T Период колебаний: a – амллитуда колебаний Причиной возникновения свободных колебаний является начальное смещение x 0 и/или начальная скорость v 0.

10 Лекция 3 ( продолжение 3.2 ) Затухающие колебания материальной точки – Колебательное движение материальной точки происходит при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления движению. Зависимость силы сопротивления движению от смещения или скорости определяется физической природы среды или связи, препятствующей движению. Наиболее простой зависимостью является линейная зависимость от скорости (вязкое сопротивление): - коэффициент вязкости x y O Основное уравнение динамики: Проекция уравнения динамики на ось: Приведем уравнение к стандартному виду: где Характеристическое уравнение имеет корни: Общее решение данного дифференциального уравнения имеет различный вид в зависимости от значений корней: 1. n < k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae -nt x = -ae -nt Частота затухающих колебаний: Период: T*T* Декремент колебаний: aiai a i+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n > k – случай большого вязкого сопротивления: - корни действительные, различные. или - эти функции апериодические: x t x t 3. n = k : - корни действительные, кратные. -эти функции также апериодические:

Лекция 3 ( продолжение 3.3 ) x y O с1с1 с2с2 Классификация решений свободных колебаний. Дифф. уравнение Характер. уравнение Корни характ. уравнения Решение дифференциального уравнения График nk n=kn=k x t x t Способы соединения пружин. Эквивалентная жесткость. y y x O с1с1 с2с2 x O с1с1 с2с2 11