Магический квадрат Общие сведения. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т это квадратная таблица, заполненная n^2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.

Магический квадрат Квадрат Ло Шу. Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э

Магический квадрат Квадрат Альбрехта Дюрера. Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514) Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате ( ), в квадрате из угловых клеток ( ), в квадратах, построенных «ходом коня» ( и ), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах ( и ). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Магический квадрат Дьявольский магический квадрат Дьявольский магический квадрат магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях. Такие квадраты называются ещё пандиагональными. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата: Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…). Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные. Пандиагональных квадратов пятого порядка С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадрата. Один из них показан ниже.

Магический квадрат Пандиагональный квадрат

Магический квадрат Примеры более сложных квадратов Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности. Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Иллюстрирующие схемы