Лекция 14 §22. Метод перевала. Метод вычисления асимптотических разложений интегралов по кривой на комплексной плоскости аналитических ФКП, зависящих от действительного параметра.

Асимптотическое разложение в окрестности точки x 0

При x 0 достаточно часто в качестве (x) выбираются обратные степени x: и часто

Замечание. Асимптотический ряд, вообще говоря, не сходится. для достаточно гладких f( t ) и ( t ) при условии ! глобального максимума f( t ) на [ t 1 ; t 2 ] : f( t 0 ) > f( t ), f ( t 0 )=0, f "( t 0 ) < 0

Формула Лапласа Обобщим этот результат на случай интегралов от аналитических ФКП.

осциллирующая часть подынтегральной функции

Max. вклад в интеграл даст тот участок C, на котором u( x, y ) достигает глобального max на С. Пусть z 0 - единственная точка глобального max. u( x, y ) на С: u( x 0, y 0 ) > u( x, y )| C.

u=0, z g', и в силу принципа max. гармонической функции, max u| g > u(x, y)| (x,y) g' => хотя z 0 С точка глобального max u(x,y) на С, но в окрестности g' точки z 0 точки С, в которых u( x, y ) > u( x 0, y 0 )

=> Через z 0 С проходят другие направления на которых u( x, y ) возрастает от значения u( x 0, y 0 ). Точка z 0 =x 0 +iy 0 - седловая точка, или точка перевала поверхности u( x, y ). => название метода.

Max. вклад в интеграл будет давать участок интегрирования в окрестности точки z 0, если на нем u( x, y ) будет убывать с наибольшей скоростью от значения u( x 0, y 0 ). По т. Коши контур С в окрестности точки z 0 С можно деформировать, не меняя значения интеграла.

Участок С, проходящий через z 0 можно направить по направлению наибыстрейшего спуска на поверхности u( x, y ). Это направление определяется направлением u ( z 0 ).

Но u v = u x v x + u y v y =0 ( условия Коши-Римана ). => Направление наибыстрейшего спуска- направление v=0, т.е линия уровня v (x, y) = v( x 0, y 0 ) = const.

Max. вклад в интеграл дает интегрирование по участку С, проходящему через z 0 и совпадающему c v ( x, y ) = v ( x 0, y 0 ) = const. Как ведет себя f ( z ) на этом участке?

z 0 - точка глобального max. => => f ( z 0 ) = 0 (производная не зависит от направления).

Найдем направление наибыстрейшего спуска.

При 0 2 cos( +2 )=0 4 раза => окрестность точки z 0 разбивается на 4 сектора- 2 + : cos( +2 )>0, и два -: cos( +2 )

Направление наибыстрейшего спуска определяется условием cos( +2 ) = -1 => +2 0 = ; 0 =( - )/2, где f (z 0 )=2ke i, = arg f (z 0 ).

Вычислению первого члена асимптотики

Параметризуем контур интегрирования С :

Выполнены все условия применимости формулы Лапласа

Знак определяется направлением интегрирования.