Начертательная геометрия.

Лекция 1. Предмет и метод н. г. Прямоугольное проецирование и его свойства. Образование заданной точки, прямой,плоскости. Прямые частного положения. Прямые общего положения: следы прямой, определение величины отрезка. Плоскости частного положения. Взаимопринадлежность точки, прямой, плоскости. Прямые параллельные, принадлежащие, перпендикулярные. Главные линии плоскости.

Начертательная геометрия - наука, изучающая пространственные формы и способы изображения их на плоскости. Основная задача начертательной геометрии состоит в изучении методов построения изображения пространственных форм и в разработке способов решения пространственных задач при помощи изображений. Начертательная геометрия является базой для изучения инженерно-технических дисциплин: черчения, архитектуры, деталей машин и механизмов, теоретической и строительной механики и др. Начертательная геометрия имеет особое значение для развития пространственного воображения, которое необходимо в практической деятельности инженера, конструктора, дизайнера. Прямой задачей начертательной геометрии является задача построения чертежа, т.е. изображения предмета на плоскости и изучение способов этого построения. Обратной задачей является восстановление по проекционному чертежу формы, размеров оригинала, взаимного расположения его элементов и других геометрических параметров. Велика роль черчения в науке и на производстве. Чертеж - хорошее средство для получения и запоминания информации поскольку ~ 80 % информации человек получает с помощью зрения. В современном техническом чертеже передается информация, необходимая для производства, поэтому чертеж является одним из основных производственных документов. При составлении чертежа приходится преодолевать противоречие между непрерывностью изображаемого материального предмета и линейностью его изображения. Например, непрерывная поверхность на чертеже может быть задана только конечным количеством линий и точек. Изображаемый предмет называют оригиналом или моделью. Чертеж должен содержать геометрическую информацию о форме и размерах оригинала. К такому чертежу предъявляются следующие основные требования: Наглядность, т.е. давать пространственное представление об оригинале; Простота с точки зрения графического выполнения; Точность - графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.

Для отображения точек оригинала на чертеже применяют операцию проецирования. Имеется плоскость проецирования (ее иногда называют картинная плоскость), на которой получается изображение оригинала - точки А. Операция проецирования заключается в проведении через точку А прямой, которая называется проецирующей. Точка А 1 - точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью П 1 - называется проекцией точки А на плоскости П 1. Чертежи, построенные по методу проецирования, называются проекционными. В зависимости от положения проецирующих лучей проецирование может быть либо центральным (коническим), либо параллельным (цилиндрическим). При проецировании сложного объекта выполняется проецирование каждой его точки.

Для перехода от пространственного представления о предмете к его плоскому изображению используется метод проекций. Для того чтобы трехмерный объект, находящийся в трехмерном пространстве, "перенести" на плоскость, т. е. получить его изображение, необходимо его спроецировать. Для этого, из выбранной определённым образом точки пространства, которая называется центром проекции, необходимо провести прямые линии (лучи) через каждую точку изображаемого объекта. Эти прямые называются проецирующими прямыми. Та плоскость, на которой мы получили изображение предмета называется плоскостью проекции, а изображение предмета, которое мы получим на этой плоскости называется его проекцией. В зависимости от положения центра проецирования и направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций проецирование может быть либо центральным (коническим), либо параллельным (цилиндрическим). Наиболее общий случай получения проекций пространственных фигур - это центральное проецирование. В этом случае проецирующие лучи выходят из одной точки - центра проецирования S, который находится на конечном расстоянии от плоскости проекций П 1. Для того чтобы получить центральные проекции точек А и B, необходимо провести проецирующие лучи из центра проецирования S через точки А и B до пересечения с плоскостью проекций П 1. При пересечении получаются точки А 1 и B 1 - центральные проекции точек А и B.

Центральное проецирование обладает большой наглядностью, так как оно соответствует зрительному восприятию предметов. Свойства проекций при центральном проецировании: 1.Проекцией точки является точка. 2.Проекцией линии является линия. 3.Проекцией прямой в общем случае является прямая. (Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то её проекцией является точка). 4.Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии. 5.Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий. 6.В общем случае плоский многогранник проецируется в многогранник с тем же числом вершин. 7.Проекцией взаимно параллельных прямых является пучок прямых. 8.Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то её проекция подобна этой фигуре.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования. Если центр проекций при центральном аппарате проецирования перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Отсюда аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций П и направления Р. При центральном проецировании проецирующие лучи выходят из одной точки, а при параллельном проецировании - параллельны между собой. В зависимости от направления проецирующих лучей параллельное проецирование может быть косоугольным, когда проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, и прямоугольным (ортогональным), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Построим параллельную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ, на плоскость П 1, при заданном направлении проецирования Р не П 1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П 1 получатся параллельные проекции А 1 и В 1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А 1 и В 1 мы получим параллельную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ. Рассмотрим пример косоугольного параллельного проецирования.

Свойства проекций при параллельном проецировании: Первые шесть свойств центрального проецирования справедливы и для параллельного проецирования. Перечислим ещё несколько свойств присущих параллельному проецированию: 1.Проекции параллельных прямых параллельны. Из рисунка видно, что прямые АА 1, ВВ 1, СС 1 и DD 1 образуют две параллельные плоскости a и b. Эти две плоскости пересекаются с П 1. Следовательно, линии пересечения их А 1 В 1 и С 1 D 1 будут параллельны.

Пусть точка С принадлежит отрезку АВ, причем |АС| : |СВ| = 2 : 1. Построим параллельную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ. Точка С 1 А 1 В 1. Проведём АC' || А 1 C 1 и CB' || C 1 B 1, получим два подобных треугольника АCC' и CBB'. Из их подобия следует пропорциональность сторон: |АC| : |СВ| = |AC'| : |CB'|, но |CB'| = |С1В1|, а |AC'| = |А 1 C 1 |, отсюда |АC| : |СВ| = |А 1 С 1 | : |C 1 B 1 |. 2.Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

3.Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения. Возьмём треугольник АВС и спроецируем его на две параллельные плоскости проекций П 1 ' и П 1. Так как длины отрезков равны |А 1 А 1 '| = |В 1 В 1 '| = |С 1 С 1 '| и отрезки параллельны, то четырёхугольники А 1 А 1 ' В 1 В 1 ', В 1 В 1 ' С 1 С 1 ', С 1 С 1 'А 1 А 1 ' являются параллелограммами. Следовательно, противоположные стороны их равны по длине |А 1 В 1 | = |А 1 ' В 1 '|, |В 1 С 1 | = |В 1 ' С 1 '|, |А 1 С 1 | = |А 1 ' С 1 '|, а значит, треугольники равны. Аналогично, тоже самое можно доказать и для любой другой плоской фигуры. Параллельное проецирование, в отличие от центрального, обладает меньшей наглядностью, но обеспечивает простоту построения и большую взаимосвязь с оригиналом.

Как уже было сказано выше ортогональное проецирование - это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций. Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций. Ортогональное проецирование Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П 1. Точка А 1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.

Чтобы получить ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ, на плоскость П 1, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, П 1. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П 1 получатся ортогональные проекции А 1 и В 1 точек А и В. Соединив ортогональные проекции А 1 и В 1 получим ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ. Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.

Свойства ортогонального проецирования: 1.Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций. Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А 1 В 1 на плоскость П 1. Если провести прямую АС || А 1 В 1, то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А 1 В 1 | : cos a, т. к. |А 1 В 1 | = |АС|.

2.Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину. Дан прямой угол АВС, у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П 1. По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ 1. Следовательно, прямая ВС к плоскости (АВхВВ1), т. к. она к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. По условию прямая В 1 С 1 || ВС, поэтому тоже к плоскости, т. е. и прямой А 1 В 1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А 1 В 1 и В 1 С 1 равен 90°, что и требовалось доказать.

Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении. Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости. Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей. Эпюр Монжа или ортогональные проекции. Суть метода ортогональных (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные ( перпендикулярные) плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.

Аксонометрический чертеж. Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала. Перспективный чертеж. При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала. Проекции с числовыми отметками и др. Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости. Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.