Задача 1

Задача 2

Задача 3 Ирина написала все натуральные числа от 1 до 1000 и обвела в кружочек те из них, которые представляются в виде разности квадратов двух целых чисел. Каких чисел среди обведенных больше – четных, или нечетных?

Решение. Разность квадратов двух целых чисел можно представить как произведение суммы этих чисел на их разность. Сумма и разность двух чисел всегда одной четности (обе четные, либо обе нечетные). Любое нечетное число можно представить в виде произведения двух нечетных чисел (простое число может быть представлено произведением его на единицу). Четное же число можно представить произведением двух четных чисел лишь в случае, когда кратность делителя 2 не менее двух. Среди чисел первой тысячи четных и нечетных чисел поровну – по 500. Однако у половины четных чисел делитель 2 первой кратности, эти числа не отвечают указанному требованию. Следовательно, в рассматриваемой группе нечетных чисел, которые можно представить разностью квадратов двух целых чисел, вдвое больше, чем четных. Ирина написала все натуральные числа от 1 до 1000 и обвела в кружочек те из них, которые представляются в виде разности квадратов двух целых чисел. Каких чисел среди обведенных больше – четных, или нечетных?

Одно из чисел на 17 больше другого. Если меньшее число увеличить в два раза, а большее – на 16, то их сумма станет равной 99. Найдите числа. Задача 4

Одно из чисел на 17 больше другого. Если меньшее число увеличить в два раза, а большее – на 16, то их сумма станет равной 99. Найдите числа. Решение. Вместо того, чтобы увеличивать большее число на 16, как это предлагается в условии, уменьшим его на 17, сделав его равным меньшему числу. Сумма удвоенного меньшего числа и равного ему трансформированного большего числа составит 99 - ( ) = 66. Меньшее число равно 66 : 3 = 22, большее – = 39.

Задача 5 На доске написаны натуральные числа от 1 до Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число? Какое это число – четное, или нечетное?

На доске написаны натуральные числа от 1 до Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число? Какое это число – четное, или нечетное? Решение После каждой операции количество чисел уменьшается на 1. Для достижения цели потребуется выполнить 1965 операций. Два числа одной четности дают четную разность, числа разной четности – нечетную. В каждой из этих групп 983 числа. Выполнив 982 операции в группе четных чисел, получим в результате четное число. Разобъем 982 нечетных числа на пары и найдем 491 четную разность. Оставшееся без пары нечетное число, вступая в контакт с четным, всякий раз будет давать нечетную разность. По завершении процесса мы получим нечетный результат. Таким образом, конечный результат зависит только от количества нечетных чисел. Замечания. 1. Четность конечной разности не зависит от выбора пар чисел, образующих промежуточные разности. Объясняется это тем, что нечетное число дает четную разность лишь в паре с таким же нечетным. Поэтому при любом варианте у нас в итоге останется одно нечетное число. 2. Рассмотренная задача аналогична задаче, когда следует определить знак произведения сомножителей, имеющих разные знаки. Решая такую задачу, мы принимаем во внимание лишь отрицательные сомножители. При четном их числе результат будет положительным, при нечетном – отрицательным.

Задача 6 Найти 4 последовательных четных числа, сумма которых равна Найти наименьшее количество последовательных нечетных чисел, дающих ту же сумму.

Найти 4 последовательных четных числа, сумма которых равна Найти наименьшее количество последовательных нечетных чисел, дающих ту же сумму.

Семь гусей пустились в путь. Два решили отдохнуть. Сколько их под облаками? Сосчитайте, дети, сами.