Углы и отрезки, связанные с окружностью

Центральным углом в окружности называется угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Теорема 1. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство: Пусть АВ данная хорда, СС1 касательная, проходящая через точку А. Если АВ диаметр, то заключенная внутри угла ВАС дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС и ВАС1 в этом случае прямые, поэтому утверждение теоремы верно.

Теорема 2. Произведение отрезков одной из двух пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство: Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ BE = СЕ DE. Треугольники ADE и СВЕ подобны по первому признаку подобия треугольников:

Теорема 3. Если через точку М проведены секущая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная МК (К – точка касания), то МК МВ=МА^2

Доказательство: Проведем отрезки АК и ВК. Треугольники АКМ и КВМ подобны: угол М у них общий, а углы АКМ и В равны, т. к. каждый из них измеряется половиной дуги АК. Следовательно, МА/МК=МВ/МК или МА MB = МК^2. Теорема доказана.

Теорема 4. Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой заключенных между ними дуг.

Доказательство: Рассмотрим хорды АС и BD, пересекающиеся в точке М, и проведем хорду ВС. Так как

Теорема 5. Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг.

Доказательство: Угол 1 внешний угол треугольника AMQ поэтому

Теорема 6. Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, измеряется полуразностью заключенных внутри него дуг.

Доказательство: Угол 1 является внешним углом треугольника АМК, поэтому

Теорема 7. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен 180° минус величина заключенной внутри него дуги, меньшей полуокружности.

Доказательство: В самом деле, поскольку отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то треугольник KML равнобедренный. По теореме об угле между касательной и хордой сумма углов К и L при его основании равна KL. Следовательно,

Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность описанной около этого многоугольника. В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если же около четырехугольника можно описать окружность, то такой четырехугольник является выпуклым, а его углы обладают следующим замечательным свойством: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Это свойство легко установить, если воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле,

Bерно и обратное утверждение (признак вписанного четырехугольника): если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, в котором

Если же прямая СВ секущая, то она пересекает окружность еще в одной точке Е (2, 3). Поскольку четырехугольник ABED вписанный, то

Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность вписанной в этот многоугольник. В отличие от треугольника не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

В самом деле, обратимся к рисунку, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных. Мы видим, что АВ + СD= a + b + c + d, ВС + АD = a + Ь + с + d, поэтому АВ + СD = ВС + АD.

Справедливо и обратное утверждение (признак описанного четырехугольника): если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Действительно, рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, в котором АВ + СВ - ВС + АВ. Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АВ, АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон.

Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырехугольник ABCD. Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 207, б). Проведем касательную C'D', параллельную стороне CD (С' и D' точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABC'D' описанный четырехугольник, то АВ + C'D' = ВС' + AD', или АВ + C'D' = ВС - С'С + AD - D'D. Заменяя в правой части этого равенства сумму ВС +AD на сумму АВ + CD, приходим к равенству C'D' + С'С + D'D = CD, т. е. в четырехугольнике C'CDD' одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение (о том, что прямая CD и окружность не имеют общих точек) неверно. Аналогично доказывается, что прямая CD не может быть секущей по отношению к окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Решим несколько задач: 1. Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА биссектриса угла СBE.

Пусть радиус ОА пересекает ВС в точке D, а центральный

КОНЕЦ