Магистрант кафедры теории функций Заренок Максим Александрович Руководители : доцент кафедры теории функций Рогозин Сергей Васильевич, Описание областей влияния базисных вейвлет - функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных областей.

Содержание работы Содержание работы. 1. Цель работы. Цель работы. 2. Основные определения. Основные определения. 3. Задача Дирихле и ее решение. Задача Дирихле и ее решение. 4. Основные результаты. Основные результаты. 5. Список литературы. Список литературы.

Цель работы : решение задачи Дирихле для области ограниченной концентрическими окружностями в терминах вейвлет - анализа. Решение поставленной задачи достигается при помощи определения зон влияния базисных вейвлет - функций и, в частности, слагаемых, содержащихся в этих функциях, т. к. вейвлет - базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени.

Основные определения. Определение. Если удовлетворяет условию « допустимости »: то называется « базисным вейвлетом ». Относительно каждого базисного вейвлета интегральное преобразование определяется формулой,, где и.

Определение. Тождественно не равная нулю функция называется функцией - окном, если так же принадлежит. Центр и радиус функции - окна определяются как, соответственно ; ширина функции окна равняется.

Представление решения задачи Дирихле для концентрического кольца Задача Дирихле. Решение где функции выражаются через элементы базиса пространств гармонических в кольце функций

Основные результаты. Начнем исследование с вычисления координат центра области влияния слагаемых входящих в базисную функцию., где Получаем, что и...

Графики подынтегральной функции

Переходим к интегрированию по круговому сектору, градусная мера, которого равна. т. е. - ое слагаемое n - ой базисной функции имеет 2 центров окон влияния лежащих на окружности.,

Положение центров областей влияния.

Область влияния будет иметь вид усеченного кругового сектора.

Область влияния базисных функций с различными номерами.

Радиус внутренней окружности кольца фиксирован, а т. к. область влияния базисных функций сужается и стремится к нулю, следовательно с некоторого номера область влияния базисных функций не имеет общих точек с кольцом для которого решается наша задача. Значит в решении мы можем оставить конечное число членов. Области влияния базисных функций этих членов имеют общие точки с кольцом, для которого решается задача.

Список литературы. 1. Чуи К. Введение в вейвлеты. Москва : « Мир », – 412 с. 2. Фрейзер М. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. Москва : « БИНОМ. Лаборатория знаний », – 487 с. 3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск : НИЦ « Регулярная и хаотическая динамика », – 464 с. 4. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Гармонические всплески и асимптотика решения задач Дирихле в круге с малым отверстием. // Математическое моделирование, 2002 год, том 14, номер 5, стр. 17 – Субботин Ю. Н., Черных Н. И., Всплески в пространствах гармонических функций. // Известия РАН : серия математическая, 2000, том 64, номер 1, стр. 145 – 174.

Спасибо за внимание !