1 Элементы теории вероятностей Классическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности Свойства вероятности Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности Формулы Бейеса Формула Бернулли Самостоятельная работа 1 Самостоятельная работа 2 Самостоятельная работа 3 Самостоятельная работа 4

2 1. Достоверные события. 1) Наступление ночи каждые сутки. 2) Появление листьев на деревьях с приходом весны 3) Получение двойки за экзамен по математике, если вы за семестр набрали меньше 350 баллов 2. Невозможные события. 1)Если в кармане лежит только 100 рублей, событие, что вы вытащите из этого же кармана 1000 рублей 2) Превращение воды в лёд при нагревании 3. Случайные события. 1) Сдача экзамена с первого раза 2) Выпадение решки при бросании монеты 3) Опоздание преподавателя на лекцию

3 Основные формулы комбинаторики Пусть имеется множество М из n элементов, причём неважно какой природы эти элементы: x 1, x 2, …, x n 1. Перестановками называются комбинации, состо- ящие из всех элементов множества и отличающиеся только порядком их расположения. Пример.n=5x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 x 5, x 4, x 3, x 2, x 1 x 3, x 1, x 5, x 2, x 4 …

4 Число всех возможных перестановок: Примеры. 1) Сколько чисел можно составить из цифр 2, 3 и 5, если каждая цифра входит в число только один раз? 2) Сколькими способами можно рассадить 6 человек на 6 стульях?

5 2. Размещениями называют комбинации, состав- ленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Пример.n=6x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 m=4x 1, x 2, x 3, x 4 x 2, x 3, x 4, x 5 x 3, x 2, x 4, x 5 x 5, x 4, x 3, x 2 …

6 Число всех возможных размещений из n элементов по m элементов: Примеры. 1) Имеется 5 карточек, на первой написана цифра 1, на второй – цифра 2, и т.д. Сколько трёхзначных чи- сел можно составить с помощью этих карточек? 2) Сколькими способами награды за I, II, III места могут быть распределены между 10 участниками соревнований?

7 2. Сочетаниями называют комбинации, состав- ленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Пример.n=6x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 m=4x 1, x 2, x 3, x 4 x 2, x 3, x 4, x 5 x 1, x 2, x 4, x 5 x 5, x 6, x 3, x 2 … x 4, x 3, x 2, x 1 = = x 3, x 4, x 2, x 1

8 Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов: Примеры. 1) Сколькими способами можно выбрать 3 шара из 5 имеющихся? 2) Сколькими способами можно составить букет из 5 цветков, если всего имеется 10 цветков?

9 Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события. 1. Классическое определение вероятности: n – общее число случаев, m – число случаев, благоприятствующих событию A, т.е. при которых событие А имеет место. Примеры. 1) В коробке 3 белых и 4 чёрных шара. С какой веро- ятностью наугад выбранный шар окажется белым? 2) С какой вероятностью число от 1 до 10, выбран- ное наугад, окажется делящимся на 3? 3) В одном ящике лежат 6 карточек с цифрами от 1 до 6, а во втором – 7 с цифрами от 3 до 9. Из каждо- го ящика достают по одной карточке. Какова вероят- ность, что на карточках будут одинаковые цифры?

10 2. Геометрическое определение вероятности. Отрезок l – часть отрезка L, на отрезок L поставлена наудачу точка Плоская фигура g – часть фигуры G g G Пример. В квадрат со стороной 8 см наудачу брошена точка. Какова вероятность, что эта точка окажется внутри вписанного в квадрат круга?

11 Свойства вероятности: 1. Вероятность достоверного события равна Вероятность невозможного события равна0. 3. Вероятность случайного события.

12 Определение. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, события В или обоих этих событий одновременно. А В Пример. A – попадание при первом выстреле B – попадание при втором выстреле A+B – попадание при первом выстреле, или при втором, или при обоих выстрелах Аналогично вводится понятие суммы нескольких событий: А 1 +А 2 +…+А n.

13 Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление остальных. Примеры. 1. Из ящика с деталями извлечена наугад 1 деталь. A – извлечена бракованная деталь B – извлечена стандартная деталь A и B – несовместные события 2. Брошена монета. A – выпадение герба B – выпадение решки A и B – несовместные события

14 Теорема. Если A и B – несовместные события, то p(A+B) = p(A) + p(B). Доказательство. Пусть m 1 – число исходов, благоприятствующих A, m 2 – число исходов, благоприятствующих B p(A+B) = p(A) + p(B) Следствие 1. Если A 1, A 2, …, A n – несовместные, то p(A 1 +A 2 +…+A n ) = p(A 1 )+p(A 2 )+…+ p(A n ) Пример. В ящике 20 красных, 30 жёлтых, 10 чёрных и 40 белых шаров. Найти вероятность того, что выта- щенный шар – не белый.

15 Определение. Противоположными называют два единственно возможных несовместных события. А – событие, противоположное ему обозначают. Примеры. 1. Производится выстрел по цели. А – попадание,– промах. 2. Брошена монета. А – выпала решка,– выпал герб. Следствие Пример. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «отлично» – 0.1, на «хорошо» – 0.3, на «удовлетво- рительно» – 0.4. С какой вероятностью этот студент завалит экзамен?

16 Определение. Произведением АВ двух событий А и В называют событие, состоящее в совместном появлении, то есть совмещении, этих событий. А В Пример. A – выбрано чётное число B – выбрано число, делящееся на 5 AB – выбрано чётное число, делящееся на 5, т.е. число, делящееся на 10 Случайным образом выбирается некоторое число.

17 Определение. Условной вероятностью p A (B) назы- вают вероятность события B, вычисленную в предпо- ложении, что событие A уже наступило. Пример. A – первый шар оказался чёрным B – второй шар оказался белым Тогда p A (B) – вероятность появления вторым бело- го шара, если первый вытащенный шар – чёрный. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно.

18 m – число случаев, благоприятствующих наступлению события B при условии, что A уже наступило благоприятствующих событиям A и B вместе благоприятствующих событию AB n – число всех случаев, но при условии, что A наступило число случаев, благоприятствующих событию A Обозначим через N – число всех возможных случаев.

19 Пример. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. Из неё дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления вторым белого шара, если первый вытащенный шар – чёрный. A – первый шар оказался чёрным B – второй шар оказался белым

20 Теорема (умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий Следствие 1. Пример. В коробке 3 белых и 7 чёрных шаров. 1) Найти вероятность того, что первый вытащенный шар – чёрный, а второй – белый. 2) Найти вероятность того, что первый вытащенный шар – чёрный, второй – белый, третий – чёрный, четвёртый – чёрный.

21 Определение. Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, то есть если Утверждение. Если В не зависит от А, то и А не за- висит от В, то есть свойство независимости взаимно. Доказательство. По теореме умножения вероятностей Но В не зависит от А, то есть А не зависит от В

22 Определение. События А и B называются независи- мыми, если появление одного из них не изменяет ве- роятность появления другого. Следствие 2. События А и В – независимы тогда и только тогда, когда. Доказательство. 1) По теореме умножения вероятностей Но A и B – независимы, т.е. 2)Пусть Но по теореме умножения вероятностей А и В – независимы.

23 Следствие 3. Если A 1, A 2,…, A n – независимые, то Определение. События A 1, A 2,…, A n называются независимыми (независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий. Пример. Имеется 3 ящика по 10 деталей. В первом ящике 2 бракованные детали, во втором – 3, в третьем – 1. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти ве- роятность того, что все три детали – не бракованные.

24 Пусть события А и В – совместные. Пример. Брошен игральный кубик. A – выпало четыре очка B – выпало чётное число очков A и B – совместные события А В p(A+B) =p(A) + p(B) IIIIII p(A+B) = p(I) + p(II) + p(III) = = p(I) + p(II) + p(III) + p(II) – p(II) = = p(A) + p(B) – p(AB) Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий p(A+B) = p(A) + p(B) – p(AB)

25 Определение. Несовместные события B 1, B 2,…, B n образуют полную группу, если в результате испыта- ния обязательно появится одно из этих событий. 1 Примеры. 1.В ящике чёрные, жёлтые и белые шары. Из него наудачу вынимается один шар. В 1 – достали чёрный шар В 2 – достали жёлтый шар В 3 – достали белый шар B 1, B 2, B 3 образуют полную группу 2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики. Из него наудачу вынимается один фрукт. В 1 – выбрано яблоко В 2 – выбрана слива В 3 – выбрана груша B 1, B 2, B 3, B 4 образуют полную группу В 4 – выбран персик

26 Пусть B 1, B 2,…, B n – полная группа несовместных событий. И пусть событие A может наступить при условии по- явления одного из событий B 1, B 2,…, B n. Пример. В ящике 8 чёрных, 10 жёлтых и 7 белых ша- ров. Среди чёрных шаров 2 с дефектом, среди жёлтых – 4, среди белых – 1. Наудачу вынимается один шар. В 1 – достали чёрный шар В 2 – достали жёлтый шар В 3 – достали белый шар А – появление шара с дефектом A (l n ) A (l 2 ) В 1 (m 1 ) В 2 (m 2 ) В n (m n ) A (l 1 ) N … – формула полной вероятности

27 Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 де- талей, во втором – 20. Вероятность бракованной дета- ли в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Найти веро- ятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной.

28 Формулы Бейеса Пусть B 1, B 2,…, B n – полная группа несовместных со- бытий, A – событие, которое может наступить при ус- ловии появления одного из событий B 1, B 2,…, B n. Найдём вероятность события B 1, при условии, что со- бытие A наступило. A (l n ) A (l 2 ) В 1 (m 1 ) В 2 (m 2 ) В n (m n ) A (l 1 ) N …

29 – формулы Бейеса Пример. Имеется 2 ящика с деталями. В первом 30 де- талей, во втором – 20. Вероятность бракованной дета- ли в первом ящике 0.2, а во втором – 0.1. Выбранная наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероят- ность того, что она из первого ящика.

30 Формула Бернулли Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться, либо не появиться. Пусть в каждом испытании вероятность события A p(A) = p. Найдём вероятность того, что при n испытаниях со- бытие A осуществится ровно k раз. Обозначим эту вероятность p n (k). p 7 (3) – вероятность того, что при 7 испытаниях событие A появится ровно 3 раза

31 1– p1– p Пример. Имеется 5 ящиков деталей, вероятность брака в каж- дом из них – 0.1. Какова вероятность, что три детали, наугад выбранные по одной из разных ящиков, ока- жутся бракованные? p A p n (k) – ? 1 p 1– p1– p A 2 p 1– p1– p A n … В общем виде аналогич- но получаем формулу: Обозначим через. Тогда – формула Бернулли

32

Приведите по 2 примера достоверных, невозможных и случайных событий.

34 1. Привести по 3 примера противоположных событий. 2. В корзине 10 груш и 5 яблок. Из неё взяли 2 фрукта. Найти вероятность того, что второй вытащенный фрукт – это яблоко, если вариант 1: первой достали грушу, вариант 2: первым достали яблоко. 3. Первый студент выучил 20 из 25 вопросов программы, a второй – 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что вариант 1: оба студента ответят правильно, вариант 2: оба студента ответят неправильно

35 1. Привести 2 примера полной группы несовместных событий, состоящей не менее, чем из трёх событий. 2. Первый студент выучил 20 из 25 вопросов программы, a второй – 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что вариант 1: оба студента ответят правильно, вариант 2: оба студента ответят неправильно

36 Вариант 1. 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось даль- тоником. Считая, что мужчины составляют 48% на- селения, найти вероятность того, что этот человек – женщина. Вариант 2. По статистике 50% мужчин и 10% всех женщин в возрасте от 20 до 50 лет имеют личный автомобиль. Считая, что среди этого возраста 55% мужчин, найти вероятность того, что владельцем ав- томобиля является мужчина. Вариант 1, 2. Привести по 2 примера дискретной и непрерывной случайных величин.

37

38 2. В вазе лежат яблоки, сливы, груши и персики. Из него наудачу вынимается один фрукт. В 1 – выбрано яблоко В 2 – выбрана слива В 3 – выбрана груша B 1, B 2, B 3, B 4 образуют полную группу В 4 – выбран персик

39 Пусть B 1, B 2,…, B n – полная группа несовместных событий. И пусть событие A может наступить при условии по- явления одного из событий B 1, B 2,…, B n. Пример. В ящике 8 чёрных, 10 жёлтых и 7 белых ша- ров. Среди чёрных шаров 2 с дефектом, среди жёлтых – 4, среди белых – 1. Наудачу вынимается один шар. В 1 – достали чёрный шар В 2 – достали жёлтый шар В 3 – достали белый шар А – появление шара с дефектом

40 A (l n ) A (l 2 ) Пусть B 1, B 2,…, B n – полная группа несовместных событий. И пусть событие A может наступить при условии по- явления одного из событий B 1, B 2,…, B n. В 1 (m 1 ) В 2 (m 2 ) В n (m n ) A (l 1 ) N … – формула полной вероятности

41