Методы решения иррациональных уравнений
Метод возведения в степень Пример 1. 5х – 1 = 4х 2 – 4х + 1 4х 2 – 9х + 2 = 0 х 1,2 = х 1 = 2 х 2 = Ответ: 2. посторонний кореньПроверка: х =
Пример 2. 8х х – 2 – 2 = 7х х – 5 – 2 (8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5) х = 3; х = - Проверка: х= - посторонний корень Ответ: 3.
Пример 3. Ответ:. х 3х 2 т.к. 3х 2. 3х 2 = 2 х 1 = - х 2 =, то ПроверкаПроверка:х = -посторонний корень
Метод составления смешанной системы Пример. Ответ: 7. Решение уравнений вида
Пример 1. Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной
Пример 2. Пусть х = у |y – 2| + |y – 3| = 1
1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10]
Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно
Метод умножения на сопряженное выражение Пример. (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х1,х1, х 2 - корни уравнения. |. () Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим: | : 2
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений Пример 1. a – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = - 2 х = - 1 х = - 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7.
Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. Пример. f(x) = f(x) = 8 x = 4 возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4.
Самостоятельная работа Задание: решите уравнение.
При решении уравнений вы можете воспользоваться подсказкой метода решения или, решив уравнение, проверить ответ ? Ответ
? Пример 1.
? Ответ Пример 2.
Пример 3. ? Ответ
Пример 4. ? Ответ
Пример 5. ? Ответ
Пример 6. ? Ответ
Пример 7. ? Ответ
Пример 8. ? Ответ
Пример 1. х Т.к., то 2х = 4 х = 2 Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой можно найти по формуле Проверка: next
Пример 2. Пусть y > 0. Получим уравнение Тогда у 2 + 3у – 4 = 0 у 1 = 1, у 2 = -4 (не удовлетворяет условию y > 0) 2 – х = 2 + х х = 0 Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения. Ответ: 0. next
х = 4 Ответ: 4. Пример 3. next
(1) | х=0 или Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим Ответ: -3; 0; 3. Пример 4. next
Пример 5. 1) 2) х – 3 = 27 х – 3 = -64 х = 30 х = -61 Ответ: -61; 30. next
Пример 6. Пусть 2х – 5 = у 2 | |y + 1| + |y + 3| = 14, т.к. у 0, то | y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3 у у + 3 = 14 2у = 10 у = 5 Тогда х = 15. Ответ: 15. next
Пример 7. Пусть f(x) = D(f) = Т.к. данная функция строго возрастает на D(f), то уравнение f(x) = 2 имеет не более одного корня на указанном промежутке. Подбором определяем: х = 1. Ответ: 1. next
Метод возведения в степень х3х 2 т.к. 3х 2. 3х 2 = 2 х 1 = - х 2 = Ответ:., то Проверка:х = -посторонний корень назад
Пусть ; а 2 -2а – 3 =0 а 1 = -1 не удовлетворяет условию а 2 = 3 х + 32 = 81 х = 49 Ответ: 49. Метод введения новой переменной назад
Метод составления смешанной системы Решение уравнений вида назад
Метод умножения на сопряженное выражение (1) = 7 3х 2 + 5х + 8 = 16 3х 2 + 5х – 8 = 0 х 1 = х 2 = 1 |. ; 1. Ответ: Проверкой убеждаемся, что х1,х1, х 2 - корни уравнения. () назад
Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений a – 2a + a 2 = 1 a 3 + a 2 – 2a = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = - 2 х = - 1 х = - 2 х = 7 Ответ: -2; -1; 7. назад
Использование монотонности Теорема. Если функция y = f(x) строго возрастает (убывает) на некотором промежутке I, то уравнение f(x) = С, где С – некоторое действительное число, имеет не более одного решения на промежутке I. f(x) = f(x) = 8 x = 4 Пример. возрастает на D(f) = [ ) Ответ: 4. назад
Метод введения новой переменной. Пусть х = у |y – 2| + |y – 3| = 1
1) у = 2 Решений нет 2) 1 = 1 3) у = 3 Решений нет Ответ: [5; 10] назад
Метод разложения подкоренного выражения на множители Пример. 2х – 1 = 0 или х = 0,5 решений нет Ответ: 0,5. Проверка: верно назад
или х = 1 D < 0, решений нет Ответ: 1. next
Проверка: х = Показатели степени образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой можно найти по формуле назад
М о л о д е ц !