Определение 5.1 Случайная величина - это величина, которая в результате эксперимента принимает из множества своих возможных знчений одно зараннее неизвестное значение. Обозначаем: X, Y, Z, … - случайные величины (сокращаем сл.в.) x, y, z, … - их возможные значения. § 5. Случайные величины.

Определение 5.2 Случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений конечное или счетное. Определени е 5.3 Случайную величину называют непрерывной, если множеством ее возможных значений являются все точки некоторого интервала.

Распределительный закон дискретной случайной величины Пусть X – дискретная случайная величина, x 1, x 2, …, x n – ее возможные значения, гдеs n или n =. В результате эксперимента X принимает одно из своих возможных значений. Т.е. происходит одно из событий: X = x 1, X = x 2, …, X = x n. Эти события попарно несовместимы: (X = x i ) (X = x j ) =, i j (невозможно 2 исхода одновременно). = (X = x 1 ) (X = x 2 ) … (X = x n ) (какой-то исход должен быть). Т.о. события X = x 1, X = x 2, …, X = x n образуют полную систему несовместимых событий и вероятность их суммы равна 1. Обозначим вероятности событий: P( X = x 1 ) = p 1, …, P( X = x n ) = p n. Тогда

Определение 5.4 распределением дискретной случайной величины X называют комплект пар (x i, p i ), где x i – возможные значения случайной величины, p i – их вероятности, i = 1, 2,.... Распределения представляют: a) таблицей; b) графиком; c) формулой. Пример: Два игрока заключили следующий договор: Если при бросании игральной кости выпадает 1, 2 или 3 очка, платит игрок A игроку B одну крону. Если 4 очка, то никто никому ничего не платит. Если выпадает 5 или 6 очков, платит игрок B игроку A две кроны. В пользу которого из игроков составлен договор? Определим случайную величину X - прибыль игрока A. Тогда возможные значения X : x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 2. Решение:

Вероятности значений -1, 0 и 2 соответственно: p 1 = P( X = -1) = P(выпадет 1, 2 или 3 очка) = 3/6; p 2 = P( X = 0) = P(выпадет 4 очка) = 1/6; p 3 = P( X = 2) = P(выпадет 5 или 6 очка) = 2/6. Распределение случайной величины X: a) таблица распределения b) график распределения полигон распределения Т.о. Случайная величина X:

Определим случайную величину Y = прибыль игрока B. Тогда возможные значения Y : Вероятности значений y 1 = 1, y 2 = 0, y 3 = -2 соответственно: p 1 = P( X = 1) = P(выпадет 1, 2 или 3 очка) = 3/6; p 2 = P( X = 0) = P(выпадет 4 очка) = 1/6; p 3 = P( X = -2) = P(выпадет 5 или 6 очка) = 2/6. Для случайной величины Y : a) таблица распределения: b) график распределения: Вывод: при одном бросании кости для игрока B наиболее вероятно выиграть 1 крону, соответственно для игрока A - проиграть 1 крону.

Среднее значение дискретной случайной величины Пусть дана дискретная случайная величина X со значениями x i и их вероятностями p i = P( X = x i ), i = 1, 2,... соответственно. Определение 5.5 Средним значением дискретной случайной величины X называют число Символ E происходит здесь от английского слова Expectation или ожидание (в среднем ожидаемое значение). Среднее значение является мерой размещения, т.е. среднее значение, вокруг которого размещаются все остальные значения случайной величины. Среднее значение представляет собой взвешенное среднее значений сл.в., где веса – вероятности значений. В русскозычных учебниках используется термин математическое ожидание и обозначение MX вместо EX.

Пример. Два игрока. Найдем среднюю прибыль каждого игрока. Средняя прибыль игрока A: EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 = -1*3/6 + 0*1/6 + 2*2/6 = 1/6 Средняя прибыль игрока B: EY = y 1 p 1 + y 2 p 2 + y 3 p 3 = -2*2/6 + 0*1/6 + 1*3/6 = -1/6 Вывод: игрок A в среднем выигрывает 1/6 кроны, соответственно игрок B в среднем теряет 1/6 кроны. Т.о., договор в среднем составлен в пользу игрока A.

Физическая интерпретация среднего значения Пример. Если на прямой в точках x 1,..., x n разместить массы p 1, p 2,..., p n, то точка среднего значения будет центром тяжести, т.е. точкой, в которой прямую надо поддерживать, чтобы она находилась в равновесии. p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 Среднее значение является центром тяжести EX

Свойства среднего значения: 1. Ec = c, где c = const. 2. E(cX) = cE(X). Доказательство: свойство говорит, что среднее значение константной сл.в. равно самой этой константе. Таблица распределения константной сл.в. X = c: Откуда по определению среднего значения: EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … = c*1 = c. Доказательство: свойство говорит, что константа выносится вперед из под знака среднего значения. Таблица распределения сл.в. cX : Откуда по определению среднего значения : E(cX) = cx 1 p 1 + cx 2 p 2 + … + cx n p n = c(x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n ) = cEX.

3. E( X + Y ) = EX + EY. 4. min x i EX max x i Доказательство: свойство говорит, что среднее значение суммы случайных величин равно сумме их средних значений. Доказательство этого свойства не входит в программу данного курса. Доказательство можно найти, например, в учебном курсе INTUIT.ru.INTUIT.ru Доказательство: свойство говорит, что среднее значение сл.в. всегда находится между минимальным и максимальным значениями сл.в. Оценим среднее значение сверху: EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n max x i p 1 + max x i p 2 + … + max x i p n = = max x i (p 1 + p 2 + … + p n ) = max x i *1= max x i. Оценим среднее значение снизу: EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n min x i p 1 + min x i p 2 + … + min x i p n = = min x i (p 1 + p 2 + … + p n ) = min x i *1= min x i.

Дисперсия дискретной случайной величины Рассмотрим два дискретных распределения с одним и тем же средним значением: Во втором случае расстояние от среднего значения для отдельных значений сл.в. намного больше. p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 EX p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 EY

Определение 5.6 Дисперсией сл.в. X называют число DX = E(X EX) 2. Дисперсия определяется через среднее значение. Разность сл.в. X и ее среднего значения EX называют отклонением: X EX. Дисперсия т.о. это среднее от квадрата отклонения, и поэтому всегда неотрицательная величина DX 0. Для описания рассеяния (вариирования) значений сл.в. используют дисперсию (дисперсия на английском – рассеяние). Дисперсия – мера рассеяния.

1. Dc = 0, где c = const. Доказательство: свойство говорит, что дисперсия константной сл.в. равна нулю. Dc = E(c Ec) 2 = E(c c) 2 = E(0) = 0. Т.к. Ec = c, если c = const. При доказательстве используем свойства среднего значения. 2. D(cX) = c 2 D(X). Доказательство: свойство говорит, что константа выносится вперед из под знака дисперсии с квадратом. D(cX) = E(cX E(cX)) 2 = E(cX cEX) 2 = Ec 2 (X - EX) 2 = c 2 E(X - EX) 2 =c 2 DX. Т.к. E(cX) = cEX, если c = const. 3. DX = EX 2 – (EX) 2. Доказательство: эту формулу как более простую применяют на практике для вычисления дисперсии. DX = E(X EX) 2 = E(X 2 2XEX + (EX) 2 ) = EX 2 -2EXEX + (EX) 2 = EX 2 – (EX) 2. Т.к. E(X + Y) =EX + EY.

Формулы вычисления дисперсии в дискретном случае: 4. D( X + Y ) = DX + DY, для независимых X и Y. Доказательство: свойство говорит, что дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий, если сл.в. независимые. Доказательство этого свойства не входит в программу данного курса. Доказательство можно найти, например, в учебном курсе INTUIT.ru. INTUIT.ru 1) По определению: 2) По свойству 3: Эту формулу применяем на практике для вычисления дисперсии.

Правило. Интервал [EX - X, EX + X ] содержит примерно 2/3 всех значений (всего вариирования) случайной величины Х. Для характеристики рассеяния случайной величины лучше использовать стандартное отклонение, чем дисперсию. Т.к. в случае дисперсии единицы измерения случайной величины возводятся в квадрат, а стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и случайная величина.

Найти дисперсию и стандартное отклонение прибыли для обоих игроков. Пример. Два игрока (продолжение). Средняя прибыль игрока A: EX = 1/6.Средняя прибыль игрока B: EY = -1/6. Дисперсия и стандартное отклонение прибыли игрока A: DX = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 – (EX) 2 = = (-1) 2 *3/6 + (0) 2 *1/6 + (2) 2 *2/6 - (1/6) 2 = 65/36 и X = DX = 65/6. Дисперсия и стандартное отклонение прибыли игрока B: DY = y 1 2 p 1 + y 2 2 p 2 + y 3 2 p 3 – (EY) 2 = = (-2) 2 *2/6 + (0) 2 *1/6 + (1) 2 *3/6 - (-1/6) 2 = 65/36 и Y = DY = 65/6. Т.к. распределение одной случайной величины является зеркальным отображением распределения другой случайной величины, то их дисперсии и стандартные отклонения равны между собой.

Функции распределения лучайных величин. Следующая форма представления распределительного закона подходит для случайных величин любого типа. Определение 5.8 Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(x), которая определяет вероятность действия неравенства X < x: F(x) = P( X < x ). График в непрерывном случае: Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X - всюду непрерывная функция.

Для дискретной случайной величины: График в дискретном случае:

Пример. Пусть дано распределение дискретной сл.в. X: X134 P0,20,50,31 В этом случае ее функция распределения: Графически: 0,3 0,5 0,2

Свойства функции распределения: 1. 0 F(x) 1, x R. Доказательство: свойство говорит, что значения функции распределения изменяются в пределах [-1;1]. Т.к. F(x) определена через вероятность: F(x) = P(X < x) и для вероятности верна аксиома неотрицательности: 0 P(X < x) 1, то и для функции распределения верно: 0 F(x) F( - ) = F( + ) = 1. Доказательство: вычислим значение функции распределения в точке x = - : F( - ) = P( X < - ) = 0 как вероятность невозможного события (нет действительного числа меньше - ). Доказательство: вычислим значение функции распределения в точке x =+ : F( + ) = P( X < + ) = 1 как вероятность достоверного события (каждое действительное число меньше + ).

4. F(x) монотонно возрастает: x 1 < x 2 F( x 1 ) F( x 2 ). x1x1 x2x2 F(x 1 ) F(x 2 ) Док-во: возьмем на оси x точки x 1 и x 2 так, что x 1 < x 2. Найдем P(X < x 2 ): P(X < x 2 ) = P( X < x 1 x 1 X < x 2 ) = P( X < x 1 ) + P( x 1 X < x 2 ) = = F( x2)F( x2) F( x1)F( x1) 0 Откуда: F( x 2 ) F( x 1 ). 5. Вероятность попадания значения сл.в. X в полуотрезок [x 1, x 2 ) : P(x 1 X < x 2 ) = F(x 2 ) - F(x 1 ) Док-во: прямо следует из предыдущего свойства. Где из полученного Равенства выражается P( x 1 X < x 2 ) : P(x 1 X < x 2 ) = F(x 2 ) - F(x 1 ).

6. Если X – непрерывная случайная величина, тогда вероятность каждого отдельного значения: P(X = a) = 0. Док-во: обозначим a + = lim x - правосторонний предел в точке a. x a+ По св-ву 5 найдем вероятность попадания значения X в полуотрезок [a, a + ): P(X = a) = P( a X < a + ) = F(a + ) - F(a) = F(a) - F(a) = 0 по непрерывности функции F, а F непрерывна как функция распределения непрерывной сл.в. 7. Для непрерывной сл.в. X верны равенства: P(x 1 X < x 2 ) = P(x 1 < X < x 2 ) = P(x 1 < X x 2 ) = P(x 1 X x 2 ) aa+a+ X Док-во: свойство говорит, что для непрерывной случайной величины неважно строгое или нестрогое неравенство стоит под знаком вероятности. Действительно P(X a) = P( X < a X = a) = т.к. события несовместимы = P( X < a) + P(X = a) = P( X < a ), т.к. последнее слагаемое равно нулю по свойству 6.

8. Для дискретной случайной величины X : P(X = a) = F( a+ ) - F(a) aa+a+ Доказательство: свойство говорит, что вероятность значения a, P(X = a), для дискретной сл.в. X равна высоте прыжка значения функции распределения в точке a: F( a+ ) - F(a). P(X = a) = P( a X < a+ ) = F(a+) - F(a) 0 Для дискретной случайной величины F( a+ ) F(a).

9. Фунция распределения непрерывна слева: x-x F(x-) F(x) Доказательство: найдем F(x) = P( X < x ) = P( X < x- ) + P( x- X < x ) = = P( X < x- ) = F(x-), поскольку P( x- X < x ) 0. x- x