Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.1. Основные законы и уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Закон Архимеда Архимед ( до н.э.) Б.Паскаль ( )

Закон Паскаля р 1 = р 2 = р 3 Давление, оказываемое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково.

Зависимость давления от высоты столба жидкости p = p 0 +p h p 0 = F/S p h = ρgh

Сообщающиеся сосуды Одинаковый уровень жидкости в сообщающихся сосудах объясняется равенством давления на одной и той же глубине любого из колен вне зависимости от его формы.

Гидравлическая машина f F h H s S Давление под поршнями в обоих цилиндрах одинаково: Откуда следует выигрыш в силе:

Архимедова сила p 1 = ρgh 1 ; p 2 = ρgh 2. V F A = ρ ж V g то p 2 > p 1. F 2 - F 1 = F A F A = S(p 2 – p 1 ) = Sρg(h 2 – h 1 ) = ρShg= ρVg Давление жидкости на верхнюю и нижнюю поверхности погружённого в жидкость тела равно, соответственно: Поскольку глубина h 2 > h 1, Разность сил составляет выталкивающую силу – силу Архимеда:

Ниже представлены летательные аппараты, принцип действия которых основан на законе Архимеда.

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.2. Модель сплошной среды. Уравнение неразрывности Лагранж Жозеф Луи ( ) французский математик и механик Эйлер Леонард ( ) математик, механик, физик, астроном. 32 года жил и работал в России.

Введём основные определения и параметры, соответствующие модели сплошной среды.

Линия тока – воображаемая линия внутри жидкости (или газа; далее везде будем говорить о жидкости, подразумевая под ней и газ тоже), в каждой точке которой скорость частиц жидкости касательна к этой линии. v vv

Трубка тока – часть жидкости внутри поверхности, образованной линиями тока: Исходя из определения, частицы жидкости не могут войти и выйти за пределы трубки тока через её боковую поверхность. В противном случае, скорость частицы перестала бы быть касательной к линии тока.

Уравнение неразрывности S1S1 S2S2 v2v2 v1v1 v 1 dt v 2 dt dV 1 dV 2 dm 1 = dm 2 ; т.е. ρ 1 S 1 v 1 dt = ρ 2 S 2 v 2 dt. dV = S. v dt ; ρ v S = const Для несжимаемой жидкости (ρ=const): v S = const Ввиду неразрывности жидкости через любое сечение трубки тока за время dt должна протекать одинаковая её масса : Рассмотрим течение жидкости внутри трубки тока разного сечения. Можно предположить, что и скорости жидкости в этих сечениях будут различными. ρ 1 dV 1 = ρ 2 dV 2. а поскольку масса равна произведению плотности на объём, то: Каждый из объёмов определяется произведением площади на длину, равную скорости жидкости в этом месте на время dt : - уравнение неразрывности

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.3. Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли Д.Бернулли ( )

l l Течение идеальной жидкости по трубе. Уравнение Бернулли A = ΔE мех Работа сил давления над элементом жидкости Δт идет на приращение его механической энергии:

Работа над жидкостью определяется силами давления слева и справа рассматриваемого участка. При этом работа справа отрицательна поскольку давление р 2 направлено в сторону, противоположную перемещению: А поскольку произведение площади сечения трубы на перемещение жидкости через соответствующее сечение равно величине протекшего объёма, то: где ρ - плотность жидкости. С другой стороны, изменение механической энергии жидкости на входе и выходе равно:

- уравнение Бернулли Для несжимаемой жидкости ( ρ = const): Подставляя выражения для работы и изменения энергии в первое равенство, при этом сократив всё на величину Δm, получим: Таким образом:

Если потенциальная энергия потока не меняется : ρ v S = const При ρ = const : vd 2 = const Если d 1 > d 2 > d 3, p 1 > p 2 > p 3 d1d1 d2d2 d3d3 v1v1 v2v2 v3v3 то v 1 < v 2 < v 3 Течение жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.4. Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли Э.Торричелли ( )

Истечение жидкости из широкого сосуда - формула Торричелли Используем уравнение Бернулли: По условию: Тогда в соответствии с уравнением неразрывности: Следовательно, скоростью жидкости в широкой части сосуда можно пренебречь. Рассмотрим верхнее и нижнее сечения трубки тока. из которого:

8.5. Измерение статического и динамического давления. Трубка Пито. Трубка Прандтля

Измерение статического давления в потоке жидкости (газа) с помощью зонда 12 Н ст v p ст = ρgH ст + р 0 Рассмотрим уравнение Бернулли для сечений 1 и 2: Смысл термина «статическое давление» будет ясен из последующих рассуждений. атмосферное давление

Н полн измерение полного давления 12 v Трубка Пито: Уравнение Бернулли: динамическое давление полное давление

Трубка Прандтля Применив оба зонда одновременно можно измерить скорость потока жидкости. p ст = ρgH ст + р 0 ΔНΔН v Верхний-левый зонд измеряет статическое давление: Нижний-правый зонд измеряет полное давление: Вычитая из второго уравнения первое можно определить динамическое давление : А затем – и скорость:

Если теперь трубку Прандтля выставить в воду за борт корабля, то можно измерить его скорость относительно воды. Точно так же измеряется скорость летательного аппарата относительно воздуха, в котором он летит.

датчики полного давления

Тема 8. Элементы механики сплошной среды 8.6. Подъемная сила крыла Жуковский Н.Е. ( )

Возникновение подъемной силы при обтекании асимметричного тела v1v1 v2v2 р1р1 р2р2 v 1 > v 2. p 1 < p 2 ; Тогда из уравнения Бернулли: Вследствие асимметричности тела верхние линии тока получаются длиннее нижних, а из-за неразрывности жидкости её частицы должны преодолевать эти расстояния за одно и то же время. Т.е. скорость течения жидкости над верхней поверхностью тела в этом случае будет выше, чем под нижней: следует, что давление в верхней части ниже, чем в нижней: (разностью высот положения этих поверхностей пренебрегаем по сравнению, например, с расстоянием до земли). Поместим разрезанный пополам цилиндр в поток жидкости (или газа).

Возникновение подъемной силы при обтекании асимметричного тела v1v1 v2v2 р1р1 р2р2 F v 1 > v 2,p 1 < p 2. F =. S, Разность давлений создает подъёмную силу: где < p 1 –p 2 > – средняя по всей площади «крыла» разность давлений, S – площадь «крыла» в плане, т.е. при виде сверху.

Крыло современного самолёта конечно же имеет более совершенный профиль и обеспечивает не только большую подъёмную силу, но и минимальное лобовое сопротивление потоку воздуха.

Профиль Жуковского угол атаки Крыло современного самолёта конечно же имеет более совершенный профиль и обеспечивает не только большую подъёмную силу, но и минимальное лобовое сопротивление набегающему потоку воздуха. скорость набегающего потока

Превышение критического значения угла атаки приводит к срыву воздушного потока, обтекающего крыло и резкому падению подъёмной силы крыла.

X – сила лобового сопротивления крыла; Y – подъёмная сила; R – равнодействующая этих сил; Ц.Д. (центр давления) – точка приложения равнодействующей всех сил, действующих на тело в потоке жидкости или газа.

Принято обозначать: S – площадь крыла в плане; С у – коэффициент подъемной силы крыла; С х – коэффициент лобового сопротивления.

Конец темы