1 Детерминированные сигналы и их математические модели 1 часть

2 План лекции Введение 1.Цели изучения темы 2.Элементы общей теории сигналов 3.Разложение сигнала по функциям Уолша 4.Спектральное представление периодических сигналов 5.Спектральный анализ сигналов конечной длительности Выводы

3 Введение Теория сигналов является одной из составных частей курса «Теория электрической связи», а рассмотрение такой модели сигнала, как детерминированный сигнал занимает в этой теории центральное место.

4 1. Цели После изучения темы студенты должны иметь представление о системах ортогональных функций и их использовании в теории сигналов способах аппроксимации сигналов знать отличия между спектром периодического и непериодического сигнала связь между временным и частотным представлением сигнала уметь вычислять спектральную плотность детерминированного сигнала определять полосу частот, в которой сосредоточена основная энергия сигнала производить разложение сигнала по функциям Уолша

5 2. Элементы общей теории сигналов В математической модели описаны те свойства сигналов, которые объективно выступают как определяюще важные. В зависимости от выбранной математической модели сигналы делятся на: Детерминированные. Описываются классической математикой Случайные. Описываются теорией вероятностей

Классы детерминированных сигналов: произвольные по величине и непрерывные по времени (аналоговые), произвольные по величине и дискретные по времени (дискретные), квантованные по величине и непрерывные по времени (квантованные), квантованные по величине и дискретные по времени (цифровые) 2. Элементы общей теории сигналов

7 Аналоговый Дискретный Квантованный Цифровой s t s t t t t s s Элементы общей теории сигналов

8 Преимущество дискретных сигналов: отсутствие необходимости воспроизводить сигнал непрерывно во все моменты времени. Применение: возможность передачи сообщения от разных источников, многоканальная связь с разделением каналов по времени. 2. Элементы общей теории сигналов

9 Преимущество цифровых сигналов: отсчетные значения представлены в форме чисел (уровни квантования пронумерованы и отсчёты взяты в определённые моменты времени). Применение: обработка средствами цифровой техники. Недостаток дискретных и цифровых сигналов: наличие ошибок преобразования. 2. Элементы общей теории сигналов

Описание детерминированных сигналов Прямое - математическая функция Например: x(t) = Acos( t + ) - кривая на плоскости Например: осциллограмма - таблица Косвенное - алгебраические, дифференциальные и другие уравнения 2. Элементы общей теории сигналов

Геометрическое представление сигналов Сигнал рассматривается вектор в пространстве (x 1, y 1 ) x y 2. Элементы общей теории сигналов

12 Множество сигналов М образует вещественное линейное пространство, если 1.Любой s(t) вещественный для любого t 2.Для любых 3.Для любого 4.u + O = u 2. Элементы общей теории сигналов

13 Система линейно независимых векторов e i образует координатный базис в линейном пространстве. Разложение сигнала по координатному базису Числа c i – проекции сигнала относительно выбранного базиса, координаты. В задачах теории сигналов число базисных векторов часто неограничено. 2. Элементы общей теории сигналов

14 Энергия сигнала равна квадрату нормы Энергия выделяется на сопротивлении 1 Ом Норма вектора (сигнала) - длина вектора 2. Элементы общей теории сигналов

15 Скалярное произведение вещественных сигналов Скалярное произведение – взаимная энергия сигналов 2. Элементы общей теории сигналов

Ортонормированный координатный базис Векторы (сигналы) ортогональны, если их скалярное произведение равно 0: Вектор нормирован, если его норма равна 1: В гильбертовом пространстве сигналов с конечным значением энергии Н задан ортонормированный базис u i, если 2. Элементы общей теории сигналов

Обобщённый ряд Фурье Разложение произвольного сигнала по ортонормированному базису: Коэффициенты ряда: 2. Элементы общей теории сигналов

Погрешности разложения в ряд На практике сигналы представляют конечным числом членов ряда. Погрешность представления оценивается энергией отброшенных членов. Обобщённое равенство Парсеваля: При конечном числе членов ряда 2. Элементы общей теории сигналов

19 Абсолютная погрешность: Относительная погрешность 2. Элементы общей теории сигналов

20 Таким образом: Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математическую модель Классификация сигналов осуществляется на основании признаков математических моделей Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по которому можно разложить произвольный вектор, принадлежащий линейному пространству Норма – аналог длины вектора Энергия сигнала равна квадрату нормы Сигналы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю Обобщённый ряд Фурье –разложение сигнала по ортонормированному базису 2. Элементы общей теории сигналов

21 3. Разложение сигнала по функциям Уолша Функции Уолша - комбинации прямоугольных импульсов, легко реализуемые средствами цифровой техники Разложение сигнала по функциям Уолша: - функция Уолша k-го порядка.

22 Ф у н к ц и и У о л ш а 0 1/2 wal 1 ( ) /2 wal 0 ( ) 1 0 1/2 -1/2 wal 2 ( ) /2 wal 3 ( ) /2 0 1/2 3. Разложение сигнала по функциям Уолша

23 Пример Найти первые два коэффициента в разложении импульса треугольной формы системе функций Уолша s(t) = U 0 /2 + U 0 t/t и, – t и /2 < t < t и /2. 0 и /2 t s(t)s(t) U0U0 - и /2 3. Разложение сигнала по функциям Уолша

24 Перейдём к нормированному времени θ = t/t и s(t) = U 0 /2 + U 0 θ, – 1/2 < θ < 1 /2. Нулевой коэффициент разложения: (численно равен площади импульса) 01/2 s( ) U0U0 -1/2 С0С0 3. Разложение сигнала по функциям Уолша

25 Первый коэффициент разложения 01/2 s( ) U0U0 С0+С1С0+С1 С1С1 0 /2 s( ) U0U0 - /2 S1S1 S3S3 S4S4 1 wal 1 ( ) 3. Разложение сигнала по функциям Уолша

26 Таким образом: Ортонормированная система функций Уолша применяется для обработки дискретных сигналов Сигналы, соответствующие функциям Уолша, генерируются с помощью переключательных электронных схем 3. Разложение сигнала по функциям Уолша

Математическая модель периодического сигнала 4. Спектральное представление периодических сигналов s 1 (t) t s 2 (t) t t 1 t 2 T Частота 1 = 2 /T -основная частота последовательности

28 Коэффициенты ряда: 4.2. Тригонометрический ряд Фурье В качестве ортонормированного базиса рассматривают функции: 1, cos 1 t, sin 1 t, cos 2 1 t, sin 2 1 t, …cos n 1 t, sin n 1 t, Тригонометрический ряд Фурье: 4. Спектральное представление периодических сигналов

29 Другая форма записи тригонометрического ряда Фурье: Коэффициенты ряда: 4. Спектральное представление периодических сигналов

30 Спектральная диаграмма - графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала По горизонтальной оси откладываются частоты гармоник, по вертикальной - амплитуды (амплитудная диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма) 4. Спектральное представление периодических сигналов АnАn А 0 /2 А1А1 А4А4 А3А3 А2А2 А5А5

31 Пример Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами T и, Т, A, чётной относительно точки t=0 0 t s(t)s(t) А TиТTиТ 4. Спектральное представление периодических сигналов

32 Q = T/T и - скважность последовательности 4. Спектральное представление периодических сигналов

33 / 1 АnАn А 0 /2 А1А1 А2А2 Амплитудный спектр последовательности импульсов со скважностью Q = 5 4. Спектральное представление периодических сигналов

34 Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём C -n = C n * (* - комплексно-сопряжённое число). Связь между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда: а n = 2 ׀ C n ׀, n = arg C n Комплексный ряд Фурье Ортонормированный базис: … exp(-j2 1 t), exp(-j 1 t), 1, exp(j 1 t), exp(j2 1 t),… 4. Спектральное представление периодических сигналов

35 / 1 СnСn Амплитудный спектр последовательности импульсов со скважностью Q = 5 при разложении в комплексный ряд Фурье 4. Спектральное представление периодических сигналов Пример. Разложение в комплексный ряд Фурье прямоугольного импульса

36 Таким образом: Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье с бесконечным числом слагаемых (гармоник) Тригонометрический ряд Фурье содержит гармоники с положительными частотами Комплексный ряд Фурье содержит гармоники с положительными и отрицательными частотами Частоты гармоник кратны основной частоте повторения последовательности Энергия сигнала равна сумме энергий всех гармонических составляющих 4. Спектральное представление периодических сигналов

37 G(j ) -спектральная плотность сигнала s(t). Функции G(j ) и s(t) - две математические модели одного и того же физического процесса: G(j ) отражает частотный состав сигнала, s(t) описывает изменение сигнала с течением времени 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности 5.1. Преобразование Фурье:

Обратное преобразование Фурье: Модуль спектральной плотности - амплитудный спектр Аргумент спектральной плотности - фазовый спектр. Энергия сигнала пропорциональна квадрату амплитуды спектральной плотности. ׀ S( ) ׀ 2 имеет физический смысл энергии, приходящейся на 1Гц. 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

Свойства преобразования Фурье Свойство линейности Дифференцирование сигнала Интегрирование сигнала 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

40 Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия) Смещение по времени (теорема запаздывания) Умножение изображений (теорема свёртывания) 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

41 Пример. Спектральная плотность прямоугольного импульса длительностью Т и амплитудой А. A, - T/2 < t < t/2, s(t) = 0, t T/2. 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

42 s(t) A t /T 4 /T AT ׀ G(j ) ׀ 0 arg G(j ) 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра Чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр и ~ 1 Ширина спектра – частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности изменяется в пределах от ׀ G max (j ) ׀ 0,1 ׀G max (j ) ׀ 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

Условие существования спектральной плотности Сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S( ), если этот сигнал абсолютно интегрируем, то есть существует интеграл В ряде случаев возможно определение спектральных плотностей неинтегрируемых сигналов. 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

Спектральные плотности некоторых неинтегрируемых сигналов Спектральная плотность гармонической функции s (t) = cos ( 0 t) ׀ G(j ) ׀ s(t) 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

46 Спектральная плотность δ-функции s(t) = (t): 0 (t) 0 t0 t ׀ G(j ) ׀ s(t) 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

47 Спектральная плотность постоянного во времени сигнала s(t) = А 0 t0 t 0 (t) ׀ G(j ) ׀ s(t) А 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

48 Спектральная плотность радиоимпульса где G A (j ) - спектральная плотность огибающей A(t). A(t) t 0t0t ׀ G A (j ) ׀ t s(t) 0t0t ׀ G(j ) ׀ t 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

49 s 1 ( t) t s 2 ( t) t t1t2t1t2 T 5.7. Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности 0 ׀ G 1 (j ) ׀ ׀ G 2 (j ) ׀ 0 s 1 (t) ÷ G 1 (j ), спектр сплошной s 2 (t) ÷ G 2 (j ), спектр линейчатый При периоде Т интервал между соседними гармониками 1/Т

50 При периоде Т интервал между соседними гармониками 1/Т Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путём повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом. С увеличением Т спектральные линии сближаются, коэффициенты С n уменьшаются и в пределе приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью G 1 (jw). 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

51 Таким образом: В частотной области непериодический сигнал (сигнал конечной длительности) характеризуется спектральной плотностью Сигнал и спектральная плотность связаны преобразованием Фурье Для существования спектральной плотности необходима абсолютная интегрируемость сигнала 5. Спектральный анализ сигналов конечной длительности

52 Выводы Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их математические модели Классификация сигналов осуществляется на основе их моделей. Представление сигнала в виде разложения по ортонормированному базису – обобщённый ряд Фурье Энергия сигнала равна сумме энергий всех членов ряда Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье Непериодические сигналы имеют спектральную плотность, связанную с сигналом преобразованием Фурье