Основные понятия теории множеств Самостоятельная работа Арифметические операции Основные термины Свойства арифметических операций

Основоположником современной теории множеств является немецкий математик Георг Кантор ( г.г.) он описывал множество как « многое, мыслимое нами, как единое целое». Множество - это совокупность объектов произвольной природы, которые обладают одними и теми же свойствами. Объекты, из которых состоит множество, называется его элементами. Если x', x'',x''… есть элементы множества X, то употребляется запись X = { x', x'', x'',…}, т.е. множество задаётся перечислением элементов. Еще один способ задания множеств - с помощью характеристического свойства. Это свойство характеризует все элементы, входящие в данное множество. А = {а | свойство}. Например: А = {а | студенты НИЯК} Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: Два множества Х и У называются равными, если каждый элемент первого множества является одновременно элементами второго и наоборот и записывается следующим образом: Х=У. Пусть каждый элемент множества У является элементом и множества Х, тогда множество У называется подмножеством множества Х, и записывается следующим образом: У Х. Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. для Х имеем Х. Заметим, что Х=У тогда и только тогда, когда Х У и У Х. Два множества Х и У называются эквивалентными если между их элементами можно установить однозначное соответствие ху и обозначается следующим образом: Х ~ У. 2 Пример1 Основные понятия теории множеств Пример2

Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. для Х имеем Х. Заметим, что Х=У тогда и только тогда, когда Х У и У Х. Два множества Х и У называются эквивалентными если между их элементами можно установить однозначное соответствие ху и обозначается следующим образом: Х ~ У. Множество Х называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным. Множество Х называется счётным, если оно эквивалентно натуральному ряду чисел У={1,2,3, …}, т.е. элементы счётного множества можно пронумеровать. Множества принято изображать в виде эллипсов или кругов. Такие изображения множеств называются диаграммами Эйлера-Венна. Очень часто все множества, о которых идет речь, являются подмножествами, какого-то одного множества. Вот это большое множество U, объемлющее все множества называют универсальным множеством, которое на диаграммах Эйлера- Венна изображается в виде прямоугольника. Дополнением множества А называется множество Ā, которое состоит из всех элементов множества U, не входящих в А. (Пример 3) 3 Основные понятия теории множеств Пример 3 Пример 3

Пример 4 Пример 4 Пример 5 Пример 5 Арифметические операции 4 Суммой (объединением) двух множеств Х и У называется множество Z=Х У, элементы которого z Z либо принадлежат Х, либо принадлежат У, либо принадлежат Х и У. (Пример 4) Произведением (пересечением) двух множеств Х и У называется множество Z= Х У, элементы которого z Z принадлежат и множеству Х, и множеству Y. (Пример 5) Разностью двух множеств Y и X называется множество Z=Y\X, состоящее из элементов, принадлежащих множеству Y, но не принадлежащих множеству X, причем X\Y Y\X. (Пример 6) Пример 6 Пример 6

Свойства сложения А B=B A (переместительное) А (B C )= (А B) C (сочетательное) А А=А А = А А Ω= Ω Свойства умножения А B= B А (переместительное) А (B C)= (А B) C (сочетательное) А А=А А = А Ω=А Распределительные свойства А (B C )= (А B) (А C) Свойства дополнения 1) 2) 3) = 4) = Ω 5) 5 Свойства арифметических операций Пример 7 Пример 7 Пример 8 Пример 8 Практическая работа 1

Самостоятельная работа 6 Множества (стр. 1-3) Отношения и отображения (стр. 5-10)