Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике. Система материальных точек 5.1. Консервативные силы. Потенциальная энергия

Консервативными называют силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а зависит лишь от его начального и конечного положений. x y 1 2

y x h1h1 h2h2 h mg A = mgּ h = mgh cosα = mgh. U = mgh A = - Δ U Рассмотрим работу силы тяжести на участке траектории от h 1 до h 2. Если считать силу тяжести постоянной и все время совпадающей по направлению с вектором перемещения, то: Но по модулю h = h 1 – h 2, т.е. A = mg(h 1 - h 2 ) = = - (mgh 2 – mgh 1 )= - ΔU, Таким образом, работа в данном случае определяется разностью начального и конечного значений некоторой функции, зависящей от высоты положения тела. Эта функция называется потенциальной энергией: Работа же равна убыванию потенциальной энергии (этим объясняется знак минус):

y x h1h1 h2h2 x h1h1 h2h2 l mg α A = mglcosα = mg(h 1 - h 2 ) = = - (mgh 2 - mgh 1 ) = - ΔU U = mgh 1 2 mg dr α 1 2 y dy Покажем, что сила тяжести является консервативной. Пусть тело перемещается под действием силы тяжести по двум разным траекториям, но начальные и конечные точки этих траекторий совпадают.

1.Работа консервативной силы A 1a2 = A 1b2 2. Работа на замкнутой траектории A = A 1a2 + A 2b1 ; A 2b1 = – A 1b2 ; А = A 1a2 – A 1b2 = 0. Работа консервативной силы на замкнутой траектории равна нулю. 1 2 b a Доказательство

5.2. Примеры консервативных сил Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике. Система материальных точек

Закон Кулона Силы электростатического взаимодействия

Qq 1 2 F1F1 F2F2 F drr r1r1 r2r2 Пусть заряд q перемещается под действием кулоновской силы из точки 1 в точку 2. Заряд Q закреплён. Поскольку сила в этом случае изменяется с расстоянием между зарядами: то для определения работы необходимо просуммировать все элементарные работы на всей последовательности бесконечно малых перемещений (на каждом таком перемещении можно считать силу неизменной), т.е. провести интегрирование: Пределами интегрирования являются значения радиус-вектора r заряда q в его начальном и конечном положениях. Определим работу, совершаемую силой Кулона при таком перемещении.

Qq 1 2 F1F1 F2F2 F r r1r1 r2r2 A = - Δ U Из результата интегрирования видно, что и в данном случае работа определяется убыванием некоторой функции, которую также назовём потенциальной энергией – электростатического взаимодействия:

В случае разноимённых зарядов (силы притяжения): Используем аналогию для представления потенциальной энергии гравитационного притяжения:

Упругая сила - консервативна A = - Δ U x U

5.3. Сохранение механической энергии частицы в поле потенциальных сил Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике. Система материальных точек

Для одной частицы в поле п пп потенциальных сил В поле сил тяжести у поверхности Земли: Работа, определяемая убывание потенциальной энергии U, идёт на приращение кинетической энергии тела Т : т.е. откуда: Следовательно: Таким образом, механическая энергия частицы в поле потенциальных сил со временем не меняется:

5.4. Система материальных точек. Сохранение механической энергии и импульса системы частиц

Сохранение импульса замкнутой (изолированной) системы частиц Для двух частиц: F 12 F й закон Ньютона 12 Таким образом, из фундаментального закона природы – закона сохранения импульса следует 3-й закон Ньютона: силы взаимодействия двух тел равны по величине и противоположны по направлению.

y x z riri R ik mimi Энергия системы: - кинетическая энергия Потенциальная энергия взаимодействия частиц: Потенциальная энергия системы во внешнем поле: mkmk

y x z riri R ik mimi Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной. mkmk Для замкнутой системы тел, взаимодействующих консервативными силами: При действии неконсервативных сил (как внешних, так и внутренних):

5.5. Центр масс системы частиц. Скорость центра масс Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике. Система материальных точек

y x z riri RcRc VcVc r1r1 r2r2 с с – центр масс. Его радиус-вектор: Скорость центра масс: mimi Импульс система частиц: Т.е. суммарный импульс системы частиц равен её полной массе, умноженной на скорость центра масс системы.

Центр масс системы из 2-х материальных точек с y x m 1 =2m m 2 =m r2r2 r1r1 2r 1 Т.е. положение центра масс совпадает с положением центра тяжести системы тел в поле сил тяжести.

5.6. Уравнение движения центра масс системы частиц Тема 5. Законы сохранения в нерелятивистской механике. Система материальных точек

y x z RcRc VcVc с 0 внешние силы внутренние силы - по 3-му закону Ньютона так как: Ускорение центра масс:

Для замкнутой (изолированной) системы частиц: VCVC c - уравнение движения центра масс системы частиц VCVC VCVC c VCVC Следовательно, центр масс ведёт себя как материальная точка с массой, равной массе всей системы, на которую действуют внешние силы, т.е. силы со стороны тел, не принадлежащих данной системе. Таким образом, что бы не происходило внутри замкнутой системы, её центр масс движется равномерно прямолинейно (или покоится).

- уравнение движения центра масс системы частиц Моделирование эксперимента: палка с лампочкой бросается под углом к горизонту. 1.Лампочка не в центре масс

1. Лампочка не в центре масс

2. Лампочка в центре масс

1. Лампочка не в центре масс

Конец темы