Удивительный треугольник великого француза Муниципальный этап Республиканской НТК «Школьная информатика» Номинация «Электронная презентация» (школьники 5-7 классов) Каримова Ильзира 7 а класс, 13 лет Виноградова Г.Р. учитель математики МБОУ «Параньгинская СОШ» РМЭ

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике. Мартин Гарднер

Треугольник Паскаля Историческая справка Принцип построения треугольника Паскаля Принцип построения треугольника Паскаля Свойства треугольника Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач

Историческая справка С 1650 года Паскаль с трудом передвигается, так как был поражен частичным параличом. Врачи считали, что его болезнь связана с нервами и ему необходимо встряхнуться. В казино «Папе-Рояль» судьба свела Паскаля с шевалье де Мере, который обладал необычными математическими способностями. Он поведал Паскалю, что при бросании кости в подряд 4 раза, выпадение 6 составляет более 50%. Мере делая небольшие ставки в игре выигрывал, используя свою систему. Такая система работала, только при бросании одной кости. При переходе на другой стол, где производился бросок пары костей, система Мере не приносила прибыль, а наоборот только убытки. Такой подход натолкнул Паскаля на мысль, в которой он захотел рассчитать вероятность с математической точностью. Это был настоящий вызов судьбе. Паскаль решил решить данную задачу при помощи математического треугольника, который был известен даже в древности, который потом получил название – треугольник Паскаля. Данное изобретение было революционным. Оказывается удачу можно предсказать. По теории Паскаля неудачи можно не опасаться, если теория ее вероятности существенно мала. Такую вероятность можно легко рассчитать по статистическим данным.

Историческая справка Первое упоминание об этом треугольнике появилось в 10 веке в Древней Индии. Затем им интересовались многие математики, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма, а китайцы - треугольником Яна Хуэя.

Историческая справка В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665 г. уже после смерти автора. Таким образом наш треугольник отличается от "треугольника" рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов.

Принцип построения треугольника Паскаля Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Свойства треугольника Сумма чисел в строках треугольника Паскаля - 2 n, где n - номер строки. Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

Свойства треугольника Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, идущие по порядку. Вторая диагональ треугольника Паскаля - это «треугольные» числа. Классический пример Классический пример начальная расстановка шаров в бильярде.

Свойства треугольника Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.) Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом =15

Свойства треугольника В каждой строке треугольника Паскаля сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах = Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число. n=5 5, 10, 10, 5 делятся на 5 n=7 7, 21, 35, 35,21,7 делятся на 7

Свойства треугольника Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные - белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор.

Свойства треугольника (формула Ньютона и треугольник Паскаля) Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y) n по степеням x и y (а+b) 1 = 1a + 1b 222 (а+b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b (а+b) 3 =1a 3 +3a 2 b+3ab 2 +1b (а+b) 4 =1a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +1b 4

Свойства треугольника Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо- вниз, либо влево - вниз.

… В классе 7 человек хорошо бегает, из них нужно выбрать 2 на соревнования. Сколькими способами это можно сделать? Ответ 7 строка 2-я диагональ Для ответа необходимо найти число, стоящее на пересечении диагонали 2 и строки 7: оно оказывается равным 21. Ответ: 21

Сколькими различными способами можно составить букет из 3-х различных цветов, если имеется 7 наименований цветов? Ответ: 35 букетов … 7 строка Ответ 3-я диагональ

Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до "Спустившись" по диагонали До числа 6, мы увидим слева снизу от него число 21. Оно то и дает искомую сумму. Вычисление суммы чисел натурального ряда =21

Интернет ссылки %D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9 F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F.svg?uselang=ru 83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9 F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F.svg?uselang=ru

ВЫВОД Несмотря на кажущуюся простоту треугольник Паскаля действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно и старшекласснику. Открытие Паскаля используют экономисты различных стран мира. Его теорию применяют в страховых компаниях и торговых биржах. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей. Материалы данной работы могут быть использованы в качестве дополнительного занимательного материала на уроках математики и кружковых занятиях.